
- •Введение
- •Таким образом, студент, имеющий шифр 1235 должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом.
- •1 Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частные интегралы
- •1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Числовые ряды
- •2.1 Знакоположительные ряды
- •2.2 Знакопеременные ряды
- •2.3 Функциональные ряды
- •Варианты индивидуальных заданий
- •1. . 2..
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •Градиент. Производная по направлению
- •5 Двойные интегралы
- •5.1 Основные понятия и определения
- •5.2 Основные свойства двойного интеграла
- •6 Элементы теории вероятностей
- •6.1 Случайные величины
- •6.1.1 Дискретные случайные величины
- •6.1.2 Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •6.1.3 Непрерывные случайные величины
- •1) При;
- •2) При.
- •7 Варианты заданий
- •Библиографический список
Градиент. Производная по направлению
Скалярным полем
называется плоская или пространственная
область, с каждой точкой
которой
связано определенное значение некоторой
физической величины
.
Задание поля скалярной величины
равносильно
заданию скалярной (числовой) функции
.
Линией уровня
скалярного поля называется совокупность
точек плоскости, в которых функция
этого поля имеет одинаковые значения
(,
где
).
Градиентом
функции
называется
вектор
=
.
Направление
вектора
в
каждой точке
совпадает
с направлением нормали к поверхности
(линии) уровня, проходящей через эту
точку.
Производная
функции
в точке
в направлении вектора
,
образующего с осями координат углы
и
,
вычисляется по формуле
Пример 15.
Найти градиент и производную функции
в
точке М(3,4)
в направлении
вектора l,
составляющего угол
с положительным направлением осиОх.
Решение. Найдем частные производные функции в точке М:
.
Тогда градиент
будет равен:
.
Найдем направляющие
косинусы:
.
Тогда производная по направлению будет
равна
5 Двойные интегралы
5.1 Основные понятия и определения
Пусть в замкнутой
области
плоскости
задана непрерывная функция
.Разобьём
область
наn
«элементарных областей»
,
площади которых обозначим через
,
а диаметры (наибольшее расстояние между
точками области) через
.
В каждой области
выберем произвольную точку
,
умножим значение
функции в этой точки на
и составим сумму всех таких произведений:
Эта сумма называется
функции
в области
.
Если существует
предел интегральной суммы, не зависящий
от способа разбиения области
на части и выбора точек в них, то он
называется двойным интегралом от
функции
по области
и обозначается
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
В этом случае
функция
называется
интегрируемой
в области
;
-
область интегрирования;
и
- переменные интегрирования;
или
- элемент площади.
5.2 Основные свойства двойного интеграла
1.
2.
3. Если область
разбить линией на две области
и
,
то
4.Если в области
имеет место неравенство
,
то и
.
Если в области
функции
то и
.
5. Если подынтегральная
функция
,
то двойной интеграл численно равен
площади области интегрирования:
.
6. Если функция
непрерывна в замкнутой области
,
площадь которойS,
то
,
где
и
-
соответственно наименьшее и наибольшее
значение подынтегральной функции в
области
.
7. Если функция
непрерывна в замкнутой области
,
площадь которойS,
то в этой области существует такая
точка
,
что
Величину
называют
средним
значением функции
в области
.
8. Координаты центра тяжести однородной пластинки можно вычислить по формулам
,
Пример 16.
Найти координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной линиями
.
Рис.1
Решение.
Так как фигура симметрична относительно
оси
,
то
.
Остается найти
.
Найдем площадь фигуры:
Тогда
.
Пример 17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
.
Решение.
Область интегрирования представляет
собой фигуру, изображенную на рис. 1.
Для изменения порядка интегрирования
разобьем область на две части:
и
.
Тогда исходный интеграл разбивается
на сумму двух интегралов: