28.7. Относительные цены

Как мы видели выше, закон Вальраса означает, что в модели общего равновесия для k товаров имеется только k — 1 независимых уравнений: если спрос равняется предложению на k — 1 рынках, то спрос должен быть равен предложению на последнем рынке. Но если у нас имеется k товаров, надо определить k цен. Как можно найти решение для k цен, имея только k — 1 уравнений?

Ответ заключается в том, что на самом деле имеется только k — 1 независимых цен. В гл.2 мы видели, что при умножении всех цен и дохода на положительное число t бюджетное множество не изменится и, следовательно, не изменится и набор спроса. В модели общего равновесия доход каждого потребителя есть просто стоимость его начального запаса по рыночным ценам. Умножив все цены на t>0, мы автоматически умножим на t доход каждого потребителя. Следовательно, если мы находим какую-либо равновесную совокупность цен (,47), то, для любогоt > 0, (t,t48) также будут равновесными ценами.

Это означает, что мы вольны выбрать одну из цен и приравнять ее к константе. В частности, зачастую удобно бывает приравнять одну из цен к 1, так что все остальные цены можно толковать как измеряемые относительно нее. Как мы видели в гл.2, такую цену называют ценой-измерителем. Выбор первой цены в качестве цены-измерителя — все равно что умножение всех цен на константу t = 1/p₁49.

Можно ожидать, что, исходя из требования равенства спроса предложению на каждом рынке, удастся определить только относительные равновесные цены, поскольку умножение всех цен на положительное число не изменит ничьего поведения в отношении спроса и предложения.

ПРИМЕР: Алгебраический пример равновесия

Функция полезности Кобба—Дугласа, описанная в гл.6, имеет вид u_A(,) = = 50для индивида A и аналогичный вид для индивида B. Как мы видели в указанной главе, эта функция полезности порождает следующие функции спроса:

(p₁, p₂, m_A) = a

(p₁, p₂, m_A) = (1 — a)

(p₁, p₂, m_B) = b

(p₁, p₂, m_B) = (1 — b),

где a и b — параметры функций полезности для двух потребителей.

Нам известно, что в равновесии денежный доход каждого индивида задается стоимостью его начального запаса:

m_A = p₁+p₂

51

m_B = p₁+p₂.52

Следовательно, функции совокупного избыточного спроса на два товара имеют вид

z₁(p₁, p₂) = a+b ——

= a+b——

и

z₂(p₁, p₂) = (1 — a) + (1 —b)——

= (1 — a)+ (1 —b)——.

Вам следует проверить, удовлетворяют ли эти функции совокупного спроса закону Вальраса.

Выберем p₂53 в качестве цены-измерителя, так что эти уравнения примут вид

z₁(p₁, 1) = a+b——

z₂(p₁, 1) = (1 — a)(p₁+) + (1 —b)(p₁+) ——.

Единственное, что мы здесь сделали, это установили p₂ = 154.

Теперь у нас имеется уравнение для избыточного спроса на товар 1 z₁(p₁, 1)55, и уравнение для избыточного спроса на товар 2 z₂(p₁, 1)56, причем каждое из уравнений выражено как функция относительной цены товара 1 p₁57. Чтобы найти равновесную цену, мы приравниваем правую часть любого из этих уравнений к нулю и решаем полученное уравнение для p₁58. Согласно закону Вальраса, мы должны получить одну и ту же равновесную цену, независимо от того, какое уравнение решаем.

Равновесная цена оказывается следующей:

= .

(Скептики могут подставить это значение p₁59 в уравнения, выражающие равенство спроса предложению, с тем, чтобы удостовериться, что данное решение удовлетворяет этим уравнениям.)