ОСЕНЬ 2012 / Лекции 3 часть / Занятие 3 Динамика
.ppt
21
Если m = const и p = const, то и υц сonst.
Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра масс не изменяется: ц = const. Или: Центр масс
замкнутой системы материальных точек движется равномерно и прямолинейно или покоится относительно инерциальной системы отсчета.
22
Пример 1. На конце стержня длиной l = 30 cм укреплен шар радиусом R = 6 cм. Где находится центр масс этой системы относительно свободного конца, если масса стержня вдвое меньше массы шара? Результат представьте в сантиметрах.
Дано: l = 30 cм = 0,3 м; R = 6 cм = 0,06 м; mш = 2mст.
Найдите: хс.
Решение:
Центр тяжести системы можно определить из следующего
соотношения: |
xc |
Σmi xi |
|
Σmi |
|
|
|
или данной задачи |
|
|
l |
23 |
||
|
|
mш (l R) |
|
|||
|
|
|
||||
xc |
mст 2 |
|||||
|
||||||
|
mст mш |
|||||
|
|
|||||
В полученной формуле размерность массы сокращается, следовательно, ответ получим в единицах l. Подставляя численные значения, получим:
|
l |
2mст (l R) |
|
|
l |
2(l R) |
|
30 |
|
|
xc |
mст 2 |
|
|
|
|
|
2(30 6) |
|
||
|
2 |
|
2 |
29см |
||||||
mст 2mст |
|
1 2 |
|
|||||||
|
|
|
1 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
24
Пример 2. Два тела, массы которых одинаковы, движутся навстречу друг другу, при этом скорость одного тела в 2 раза больше скорости второго. Какая часть механической энергии системы перейдет во внутреннюю энергию при центральном абсолютно неупругом ударе?
Дано: |
Решение: |
m1 = m2 = m |
|
1 = 2 2 |
|
|
E |
|
|
|
|
|
Запишем |
|
закон |
сохранения |
импульса и |
закон |
||||||||
|
= ? |
|
|
|
сохранения энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m1υ1 m2υ2 m1 m2 u |
|
|
|
|
||||||||
m m |
2 |
m m u |
|
|
|
m 2 |
2 |
m |
2 |
m m u |
|
|||||||||
|
1 1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m m u2 |
||||
m 2 |
|
m 2 |
|
m m u |
2 |
|
m 4 2 |
|
m 2 |
|
||||||||||
|
1 1 |
|
2 2 |
|
1 |
2 |
|
E |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
E |
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
25
2 2 2 2u |
|
|
|
2 2u |
|
||||||
|
4m 2 |
|
m 2 |
|
2mu2 |
|
|
|
|
5m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
mu2 |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|
E |
|
|
E |
2 |
|
2 |
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
u |
2 |
|
E |
5m 2 |
2 |
2,25m 22 |
|
2 |
|
2 |
m 2 |
||||
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
E m1 12 |
m2 22 |
m 4 22 m 22 |
2,5m 22 |
||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
E |
|
2,25m 2 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
E |
|
2,5m 22 |
|
|
|
E 0,9
E
26
Пример 3. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров шар большей массы до удара покоился. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Во сколько
раз масса одного шара больше массы второго шара?
Дано: Решение:
1
2 = 0Е = (3/4)Е
m2 ? m1
Закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:
m1 1 m2u2 m1u1 |
|
m 2 |
m u2 |
m u |
2 |
||
|
1 1 |
2 2 |
1 1 |
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
Проведем математические преобразования: |
|
||||||
m1 1 m2u2 m1u1 |
|
m1 1 m1u1 m2u2 |
|
||||
m 2 |
m u2 |
m u2 |
m 2 |
m u2 |
m u2 |
|
|
1 1 |
2 2 |
1 1 |
|
1 1 |
1 1 |
2 2 |
|
m1 1 u1 m2u2m1 12 u12 m2u22
27
Поделим одно уравнение на другое:
m1 1 u1 |
m2u2 |
|
1 u1 |
u2 |
u u |
|
||
m1 12 u12 |
1 u1 1 u1 |
2 |
||||||
m2u22 |
|
u22 |
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|||||
Полученную скорость u2 подставим в закон сохранения импульса:
m1 1 = m2 1 – m2u1 - m1u1; |
u1(m2 + m1) = 1( m2 - m1); |
m2 |
m1 |
u1 1 m |
m |
2 |
1 |
Так как частица отдает ¾ своей энергии, то у нее остается ¼, т.е.:
m u2 |
|
1 |
m 2 |
|
|
m |
υ |
2 |
m m |
2 |
|
1 m υ2 |
|
m2 m1 |
2 |
|
1 |
|||||
1 1 |
4 |
1 1 |
или |
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
4 |
1 1 |
|
|
|
|
4 |
|||||
2 |
|
2 |
2 |
1 |
m |
m |
|
|
2 |
|
m2 m1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 m1 |
|
1 |
|
m |
|
|
|
m |
|
|
m |
3. |
|
|
|||||
|
|
|
m2 m1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|