ОСЕНЬ 2012 / Лекции 3 часть / Занятие 3 Динамика
.ppt
11
F21 F12
F21 F12 N1 mg
Определите угловое ускорение ε колеса.
Тогда, |
maг = mg. |
|
Отсюда, |
aг = g = 1,0 (м/с2). |
|
|
Maп = F - mg. |
|
Следовательно, |
|
|
aп F mg 7 0,1 0,5 10 |
1,3 (м/с2 ) |
|
M |
5 |
|
Ответ: aг = 1,0 м/с2; aп = 1,3 м/с2.
12
Пример 2. Движение тела массой 2 кг задано уравнением: s = 6t3 + 3t + 2, где путь выражен в метрах, время - в секундах. Найдите зависимость ускорения от времени. Вычислите равнодействующую силу, действующую на тело в конце второй
секунды, и среднюю силу за этот промежуток времени. Дано: m = 2 кг; t1 = 0; t2 = 2 c; s = 6t3 + 3t + 2
Найдите: a(t), F, .
Решение: Модуль мгновенной скорости находим как
производную от пути по времени:
υ dsdt 18t2 3
Мгновенное тангенциальное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени:
a ddtυ 36t
13
Равнодействующая сила, действующая на тело, определяется по
второму закону Ньютона: F = ma, |
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
F = m∙36t, F = 2∙36∙2 = 144 (Н). |
||||||
Среднее ускорение определяется выражением: |
||||||||
|
|
a υ |
|
υ2 υ1 |
, |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
t |
|
t2 t1 |
|
|||
где |
υ |
18t2 3. |
|
υ |
2 |
18t2 |
3; |
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
||
После подстановки: |
a |
18(t2 |
|
t2 ) |
18(t2 t1) |
|
|
2 |
|
1 |
|||
|
|
|
t2 t1 |
|
||
Среднюю силу за этот промежуток времени определим как:
F m a . |
F m 18(t2 t1). |
Подставим значение массы и времени:
F 
2 18 2 72(Н )
14
Пример 3. Автомобиль массой 1000 кг, двигаясь в гору с уклоном 30о, на пути 1000 м увеличил свою скорость от 10 м/c до 20 м/с. Считая коэффициент трения между дорогой и колесами равным 0,1, найдите силу тяги, развиваемую двигателем автомобиля. Принять g = 10 м/c2.
Дано:
m = 1000 кг= 30
s = 1000 м1 = 10 м/c
2 = 20 м/c= 0,1
g = 10 м с2 Fт = ?
s υ2 υ 2a
2
0
Решение:
|
|
ma |
mg N Fтр Fт |
ox: ma = -mg sin - Fтр + Fт;
oy: N = mgcos ;
Fтр = N = mgcos .
ma = -mg sin mgcos + Fт =
=-mg(sin + cos )+ Fт
υ2 υ2
a 2s 0
Fт = ma + mg(sin + cos ) =
15
|
υ |
2 |
2 |
|
|
|
m |
|
υ0 |
g sinα μcosα |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 100 |
10 sin30 0,1cos30 |
6000Н 6кН |
|
2 1000 |
|
|
|
|
|
16
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
величина |
mυ2 |
|
2 Eк , |
называется кинетической энергией точки (тела) массой m, движущейся со скоростью .
Если точка сместилась на расстояние dx под действием силы Fx, то сила над материальной точкой совершила работу Fx∙dx (см. рис. 3.1), в результате этого изменяется и кинетическая энергия Ек, характеризующая движение тела и абсолютное значение его скорости. 
Рис.
Если точка (тело) смещается из положения х1 до положения х2, а ее скорость при этом изменилась от 1 до 2, то изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении
между двумя положениями равно совершенной при этом силой |
||||
|
x2 |
2 |
|
2 |
работе: |
Fxdx mυ2 |
|
mυ1 . |
|
|
x1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
Известно, что работу против силы тяжести совершает, например,17 подъемный кран, поднимая груз на высоту h:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа |
mgh = Ah |
случае |
полностью |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Ah |
в |
данном |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяется начальным и конечным |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положением тела в поле силы тяжести, или, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иначе говоря, начальной и конечной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
конфигурацией |
системы, |
т.е. расположения |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всех |
ее |
частей относительно |
системы |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
отсчета.
В данном случае высоту h отсчитывали от поверхности Земли, т.е. начало координат системы отсчета находится на поверхности Земли. Величина работы Ah не изменилась бы, если поднять груз той же
массы на ту же высоту h, например, с крыши здания высотой H. В этом случае работу Ah можно представить в виде разности значений
некоторой функции конфигурации системы Еп, называемой
потенциальной энергией системы (твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек):
18
Ah = Еп(H+h) – Еп(H).
Если взять теперь за нулевой уровень (или нулевую конфигурацию) крышу здания, то получим однозначное значение
Ah = Еп(H)
Таким образом, потенциальной энергией механической
системы называется величина, равная работе, которую совершают все действующие на систему потенциальные (понятие потенциальных или консервативных сил мы введем позднее) силы при переводе системы из рассматриваемого положения в положение, соответствующее ее нулевой конфигурации (нулевому уровню).
|
Закон сохранения импульса |
19 |
||
|
|
|||
Импульс p замкнутой |
системы материальных точек не |
|
||
изменяется с течением времени. |
|
|||
Замкнутой системой тел называется такая система, |
|
|||
которая не взаимодействует с телами, не входящими в |
|
|||
систему, то есть на замкнутую систему не действуют |
|
|||
внешние силы. |
|
|
|
|
Поскольку внутренние силы системы тел по третьему закону |
|
|||
Ньютона попарно уравновешиваются, то только внешние силы |
|
|||
могут изменить импульс системы, то есть |
|
|||
|
|
dp |
|
|
|
|
F |
|
|
|
dp |
dt |
вн |
|
|
|
|
||
Если pвн = 0, то |
dt 0, |
p const (не изменяется во времени). |
|
|
Если система не замкнута, например, действуют силы тяжести, но их проекция на горизонтальное направление х равна нулю, то и проекция импульса на горизонтальное направление не будет изменяться со временем.
То есть, если Fвн = 0, то и pх = const. Из закона сохранения20
импульса системы тел (или точек) следует очень важное заключение о движении центра масс (инерции, тяжести) тела. Центром масс системы материальных точек называется точка
С, радиус - вектор rц которой равен: |
||
|
n |
|
m r |
||
rц |
i i |
|
|
i 1 |
m |
где - масса и радиус - вектор i - ой материальной точки, n - общее |
|
число точек в системе, a |
n |
m mi |
|
|
i 1 |
- масса всей системы. Импульс системы, равен геометрической
сумме импульсов материальных точек системы: |
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
p |
pi mυц |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
dr ц |
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь - скорость центра масс, равная |
n |
m υ |
|
|||
υц |
|
|
i |
i |
||
|
|
|
dt |
i 1 |
m |
|