Энергия колебаний:
Электрическая энергия:
W |
q2 |
|
q2 |
cos2 t |
q2 |
1 cos 2 t |
|
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
||||
q |
2C |
|
2C |
0 |
2C |
2 |
|
|
|
Магнитная энергия:
|
LI 2 |
|
L 2q2 |
2 |
|
|
|
L 2q2 |
1 cos 2 0t |
|
|||
W |
|
|
0 0 |
cos |
|
t |
|
|
0 0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Изменения Wq и Wm происходит с удвоенной частотой по
сравнению с частотой изменения тока, заряда, разности потенциалов, причем величины Wq и Wm колеблются в
противофазе.
Сумма этих энергий постоянна:
W W |
q2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
q m |
2C |
|
|
||
Все вычисления справедливы лишь при условии, если длина проводов в системе l такова, что нет заметного запаздывания в распространении электрического поля от одной до другой пластин конденсатора за период колебания (квазистационарные токи) , т.е.
l cT
где |
с |
1 |
|
- скорость света |
0 |
|
|||
|
|
0 |
||
t = 0 |
t = T/4 |
t = T/2 |
t = 3T/4 |
t = T |
Аналогия между периодическими колебательными процессами в LC-контуре и движением математического маятника
1.2. Электрические затухающие колебания
Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего колебания затухают.
При наличии сопротивления в электрической цепи:
Закон Ома для цепи 123: dIdt RL I LC1 q 0
IR Cq L dIdt
ddt2q2 RL dqdt LC1 q 0
Введя обозначение 2RL - коэффициент затухания, получим
d 2q 2 dq 2q 0 dt2 dt 0
- уравнение колебаний в контуре
Вид затухающих колебаний заряда q и тока I:
q q0e βt cos(ωt φ)
•Колебаниям q соответствует x – смещение
маятника из положения равновесия, |
16 |
||
• силе тока |
I – скорость υ. |
||
|
|||
Его решение: |
|
|
|
|
|
|
1) 2 < 02 – в случае слабого затухания: |
|
|
|
|
||
величина заряда на обкладках конденсатора: |
|
|
|
|
||
|
|
q t q0e t cos( t ) |
||||
амплитуда затухающих колебаний |
A t q0e t |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
частота затухающих колебаний |
|
|
1 |
|
R2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
LC |
|
4L2 |
|
|
|
|
|
||
напряжение на конденсаторе: |
|
|
|
|
|
|
U q |
q0 e t cos( t ) U0e t cos( t ) |
|||||
C |
C |
|
|
|
|
|
Изменение тока со временем: |
|
|
|
|
|
||||||
|
I dq |
q0e t |
cos( t ) sin( t ) |
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q e t cos( t ) |
|
|
|
|||||||
где |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
, |
sin |
|
. |
|
|||
|
|
|
2 2 |
|
0 |
|
|
2 2 |
0 |
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (t) I0e t |
cos( t ) |
I0 0q0 |
|
||||||||
|
cos 0 |
|
|
|
|
- ток опережает |
|
||||
Так как |
|
|
|
, то |
|
|
напряжение по |
|
|||
|
0 |
2 |
|||||||||
|
sin |
|
|
|
|
фазе на угол |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) 2 ≥ 02 (Т ):
величина заряда на обкладках конденсатора:
|
|
|
q |
0 |
- апериодический процесс |
t |
|
Колебаний в контуре не будет.