Сегодня: Thursday, July 4, 2019 |
Лекция 2 |
Колебания
Содержание лекции:
Затухающие колебания
•механические
•электрические
1.1. Затухающие механические колебания
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний уменьшается.
Сила трения (или сопротивления)
Fтр rυ
где r – коэффициент сопротивления, υ – скорость движения
Второй закон Ньютона для затухающих
прямолинейных колебаний вдоль оси x
max kx rυx
где kx – возвращающая сила, r x– сила трения.
|
d2 x |
|
r dx |
|
k |
x 0 |
|
||||||
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m dt |
m |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Введем обозначения |
|
|
r |
β; |
|
|
k |
ω02 |
|||||
|
|
|
|
m |
|||||||||
|
2m |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
d2 x 2β dx ω02 x 0 |
|
|
||||||||||
|
dt2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение уравнения имеет вид (при β ω0)
Решение уравнения имеет вид
|
|
|
|
x A e βt cos(ωt φ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем частоту колебаний |
ω. |
(ω ω0 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β ω0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ω ω02 β2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ω0 |
; |
β |
; |
|
ω |
|
|
|
|
. |
||||||||||
|
m |
|
||||||||||||||||||
m |
2m |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m |
|
|
|||||
ω0 – собственная частота системы: та частота, с
которой система совершала бы свободные колебания в отсутствие сопротивления среды (r = 0).
|
r |
|
- коэффициент затухания, определяющий |
|||
скорость затухания колебаний: |
||||||
2m |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где τ – время затухания – время, по истечении которого амплитуда колебаний убывает в e раз.
Период затухающих колебаний
T |
2 |
|
2 |
|
T0 |
|
T0 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
1 2 |
|
0 |
|||||
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
- при слабом затухании близок к периоду незатухающих колебаний; с ростом β увеличивается период.
Число полных колебаний, совершаемых за время
затухания:
Ne 1
T T
Отношение амплитуд в моменты последовательных прохождений через максимумы или минимумы:
|
A |
|
A e t |
e |
T |
- декремент затухания. |
|
n |
0 |
|
|||
|
An 1 |
A0e t T |
|
|||
|
|
|
Натуральный логарифм этого отношения:
ln |
An |
ln e T T |
- логарифмический |
|
|||
|
An 1 |
декремент затухания. |
|
Связь с числом колебаний Ne:
Ne 1
Добротность колебательного контура:
Q Ne
- умноженное на число полных колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз.
Чем меньше затухание, тем выше добротность.
Электрический колебательный контур
|
|
|
Закон Ома для цепи 123: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
IR = 1 |
- 2 + ε = 0 (т.к. R = 0) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
C L dI |
и |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
I dt |
|
|
|||
получаем уравнение колебаний в контуре: |
d 2q |
|
1 |
q 0 |
||||||||||||
dt2 |
LC |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2q 2q 0 |
, где |
|
0 |
|
1 |
|
- собственная |
|
|
||||||
|
|
|
LC |
|
|
|||||||||||
|
dt |
2 |
0 |
|
|
|
|
частота контура |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Его решение:
q q0 cos 0t - гармонические колебания
Начальные условия (t = 0): q = q0, I = 0.
Тогда
q q0 cos 0t
Период колебаний |
|
|
|
|
|
T |
2 |
2 LC |
- формула |
|
0 |
Томсона |
||
Напряжение на конденсаторе:
|
|
|
U |
q |
q0 |
cos t U |
|
cos t |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C |
C |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ток в цепи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
dq |
q |
sin t I |
|
cos |
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
t |
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- опережение по фазе q, U на |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимосвязь амплитуд: |
U |
|
|
L |
I |
|
0 |
|
0 |
||||
|
|
|
C |
|||