Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (постоянно во времени), то функция U не зависит явно от времени.
В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два сомножителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:
i E t
(x, y, z,t) (x, y, z)e h
E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной.
В этом случае имеем стационарное уравнение Шредингера:
|
h2 |
U E |
- не содержит времени. |
|
2m |
||||
|
|
|
Уравнение Шредингера, как общее, так и стационарное, удовлетворяет принципу суперпозиции:
•Если ψ1 и ψ2 – какие-либо 2 решения уравнения Ш., то и всякая линейная комбинация их (αψ1 + βψ2) с постоянными (в общем случае, комплексными) коэффициентами есть также решение того же уравнения.
•Если волновые функции ψ1 и ψ2 описывают какие-либо 2 состояния системы, то и линейная комбинация (αψ1 + βψ2) также описывает какое-то состояние той же системы.
Но:
Суперпозиция стационарных состояний с различными значениями энергии уже не будет стационарным состоянием.
6. Квантование физических величин
Квантование энергии
В уравнение Ш. в качестве параметра входит полная энергия частицы Е.
Решения, удовлетворяющие стандартным условиям, данное уравнение имеет не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых, так называемых
собственных значениях энергии.
Решения, соответствующие собственным значениям Е, называют
собственными функциями задачи.
Совокупность собственных значений называется спектром величины:
• Если эта совокупность образует дискретную последовательность, спектр |
||
называется дискретным; |
E1, E2 ,..., En ,... |
|
В этом случае собственные значения и |
||
1, 2 ,..., n ,... |
||
собственные функции можно пронумеровать: |
||
• Если собственные значения образуют непрерывную последовательность, спектр называют непрерывным (сплошным).
Собственные значения физических величин
В квантовой механике каждой физической величине сопоставляется
оператор – правило, посредством которого одной функции (φ) некоторых переменных сопоставляется другая функция f тех же переменных.
Примеры операторов:
•Умножение на х: xˆ
•Дифференцирование по х: / x
Свойства операторов:
• Сумма операторов:
ˆ |
ˆ |
ˆ |
ˆ |
A B |
f x Af x Bf x |
||
• Произведение операторов:
ˆ ˆ ˆ ˆ
ABf x A Bf x
• Коммутирующие операторы: |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
AB BA |
• Линейные операторы: если для любых двух функций f и φ и любых постоянных а и b выполняется соотношение
ˆ ˆ ˆ
A af b aAf bA
В квантовой механике применяются только линейные операторы (иначе не работает принцип суперпозиции).
При многократном измерении величины х, находящейся каждый раз в одинаковых макроскопических условиях, ее среднее значение определяется
по формуле:
x
* x dx
Аналогично вычисляется среднее значение функции f(х):
f x 
* f x dx
• Две величины А и В измеримы одновременно тогда и только тогда, если коммутируют соответствующие им операторы (например, координаты х и у).
Итак, всякой физической величине F(r,p) в квантовой механике сопоставляется оператор
F r,pˆ ˆ
при замене классических величин r, p на соответствующие операторы.
Рассмотрим уравнение, где L – некоторая физическая величина
(ее измеренное значение), соответствующая оператору ˆ:
L
ˆ
L L
Функции ψ, удовлетворяющие данному уравнению, называют
собственными функциями оператора Lˆ .
L - собственные значения оператора ˆ
Числа L .
При измерении физической величины могут получиться (с той или иной вероятностью) только собственные значения соответствующего ей оператора (вещественные).
Стационарное уравнение Шредингера можно записать в виде
H Ψ EΨ
где H – оператор Гамильтона (гамильтониан):
H U
h
2m
U – оператор, действие которого сводится к умножению ψ на U.
Гамильтониан является оператором энергии E. Общее уравнение Шредингера имеет вид:
ih |
|
ˆ |
t |
H |