Гармонические колебания груза на пружине
При малых деформациях пружины выполняется закон Гука:
F kx mx&
k – коэффициент жесткости пружины.
Частота гармонических колебаний груза на пружине
0 mk
Период колебаний |
|
|
|
|
|
T |
2 |
2 |
m |
||
|
|||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
0 |
|
|
- не зависит от амплитуды А – данное свойство колебаний называется
изохронностью
Энергия колебаний:
Кинетическая энергия:
K 12 mv2 12 mx&2 12 m 02 A2 sin2 0t
Потенциальная энергия:
|
1 kx2 |
|
1 m 02 A2 |
cos2 0t |
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полная энергия |
|
K const |
1 m 02 A2 |
|
1 kA2 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
ε d2α dt2
Математическим маятником –
называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити).
•При отклонении маятника от вертикали, возникает вращающий момент M mgl sin α (1.6.2)
•Уравнение динамики вращательного движения для маятника: M Jε
Момент инерции маятника J ml2
-угловое ускорение |
14 |
|
Тогда |
ml |
2 d2α |
mgl sin α |
, или |
|
d2α |
|
g |
sin α 0 |
||||||
dt2 |
|
dt2 |
l |
|
|||||||||||
sin α α. |
Обозначим : |
g |
|
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d2α |
|
2 |
|
0 |
|
|||||
Уравнение движения маятника |
|
|
|
(1.6.3) |
|||||||||||
|
dt |
2 |
|
ω0α |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- Это уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения (1.5.3) имеет вид:
α αm cos(ω0t φ)
|
g |
|
|
|
|
|
ω0 |
|
T 2π |
l |
|
||
l |
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Т – зависит только от длины маятника и ускорения |
15 |
свободного падения. |
|
Физический маятник – это
твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей
через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С
Вращающий момент маятника:
M mgl sin α
l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С.
Обозначим:
J – момент инерции маятника относит. точки подвеса16O.
d2α |
- угловое ускорение, тогда |
J |
d2α |
mgl sin α |
ε dt2 |
dt2 |
|||
|
sin α α |
|
|
|
Уравнение динамики вращательного движения
|
|
|
|
d2α |
ω02α 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
α αm cos(ω0t φ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
lпр. |
|
|
|
ω02 mgl |
T 2π |
|
lпр. |
|
J |
|
T 2π |
|||||||||
|
mgl |
||||||||||||||||
|
|
|
g |
||||||||||||||
|
|
ml |
|||||||||||||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lпр. – приведенная длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебания которого совпадает с
периодом колебаний данного физического маятника.
17
• Точка O' называется центром
качаний
• Применяя теорему Штейнера, получим:
l |
|
|
J |
|
J |
C |
ml2 |
|
J |
C |
l l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пр. |
|
|
ml |
|
|
|
ml |
|
ml |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lпр. всегда больше l.
Рисунок 9 |
Точки О и О' |
|
всегда будут лежать по обе |
|
|
|
18 |
|
|
стороны от точки С. |
|
|
|
Точка подвеса О маятника и центр качаний O'обладают свойством взаимозаменяемости .
На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника.
Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника.
19
• Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для малых
углов отклонения (меньше 15°), когдаx lα
мало отличается от длины хорды l sin α (меньше чем на 1%).
20
Электрический колебательный контур
|
|
|
Закон Ома для цепи 123: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
IR = 1 |
- 2 + ε = 0 (т.к. R = 0) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dq |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
C L dI |
и |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
I dt |
|
|
|||
получаем уравнение колебаний в контуре: |
d 2q |
|
1 |
q 0 |
||||||||||||
dt2 |
LC |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d 2q 2q 0 |
, где |
|
0 |
|
1 |
|
- собственная |
|
|
||||||
|
|
|
LC |
|
|
|||||||||||
|
dt |
2 |
0 |
|
|
|
|
частота контура |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||