Электрический колебательный контур
|
|
Закон Ома для цепи 123: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
IR = 1 |
- 2 + ε = 0 (т.к. R = 0) |
|
|
||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
||
|
|
Поскольку |
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I dq |
|
|
||||
|
|
|
C L dI |
и |
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
||
получаем уравнение колебаний в контуре: |
d2q |
|
1 |
q 0 |
||||||
dt2 |
LC |
|||||||||
d2q 2q 0 , где |
|
1 |
|
|
|
|||||
0 |
- собственная |
|
|
|||||||
dt |
2 |
0 |
|
LC |
частота контура |
|||||
|
|
|||||||||
Его решение:
q q0 cos 0t - гармонические колебания
Начальные условия (t = 0): q = q0, I = 0.
Тогда
q q0 cos 0t
Период колебаний |
|
|
|
T |
2 |
2 LC |
- формула |
0 |
Томсона |
Напряжение на конденсаторе:
|
U |
q |
q0 |
cos t U |
|
cos t |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
C |
C |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ток в цепи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
dq |
q |
sin t I |
|
cos |
|
|
|
|||||||
|
0 |
t |
|
|
|||||||||||
|
dt |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- опережение по фазе q, U на |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимосвязь амплитуд: |
|
|
L |
|
U0 |
|
I0 |
||
|
C |
|||
Энергия колебаний:
Электрическая энергия:
W |
q2 |
|
q2 |
cos2 t |
q2 |
1 cos 2 t |
|
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
||||
q |
2C |
|
2C |
0 |
2C |
2 |
|
|
|
Магнитная энергия:
|
LI 2 |
|
L 2q2 |
2 |
|
|
|
L 2q2 |
1 cos 2 0t |
|
|||
W |
|
|
0 0 |
cos |
|
t |
|
|
0 0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
2 |
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Изменения Wq и Wm происходит с удвоенной частотой по
сравнению с частотой изменения тока, заряда, разности потенциалов, причем величины Wq и Wm колеблются в
противофазе.
Сумма этих энергий постоянна:
W W |
q2 |
0 |
|
|
|
q m |
2C |
|
Все вычисления справедливы лишь при условии, если длина проводов в системе l такова, что нет заметного запаздывания в распространении электрического поля от одной до другой пластин конденсатора за период колебания (квазистационарные токи) , т.е.
l cT
где |
с |
1 |
|
- скорость света |
0 |
|
|||
|
|
0 |
||
t = 0 |
t = T/4 |
t = T/2 |
t = 3T/4 |
t = T |
Аналогия между периодическими колебательными процессами в LC-контуре и движением математического маятника