Скорость колеблющейся точки:
v x& 0 Asin 0t
Ускорение
a &x 02 Acos 0t |
|
или |
|
&x 2 x |
&x 2 x 0 |
0 |
0 |
- уравнение гармонических колебаний
Сила, действующая на точку в процессе колебаний:
Fma m 02 x
-пропорциональна отклонению х и противоположна ему, будучи всегда направленной к положению равновесия (квазиупругие силы)
Гармонические колебания груза на пружине
При малых деформациях пружины выполняется закон Гука:
F kx mx&
k – коэффициент жесткости пружины.
Частота гармонических колебаний груза на пружине
0 mk
Период колебаний |
2 |
2 |
m |
T |
|||
|
|
|
k |
|
0 |
|
|
- не зависит от амплитуды А – данное свойство колебаний называется
изохронностью
Энергия колебаний:
Кинетическая энергия:
K 12 mv2 12 mx&2 12 m 02 A2 sin2 0t
Потенциальная энергия: |
|
|
|
|
|
1 kx2 |
1 m 02 A2 |
cos2 0t |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Полная энергия |
K const |
1 m 02 A2 |
|
1 kA2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
ε d2α dt2
Математическим маятником –
называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити).
•При отклонении маятника от вертикали, возникает
вращающий момент
M mgl sin α (1.6.2)
•Уравнение динамики вращательного движения для маятника: M Jε
Момент инерции маятника J ml2
-угловое ускорение |
15 |
|
|
ml |
2 d2α |
|
|
|
|
|
d2α |
|
g |
sin α 0 |
||||
Тогда |
|
dt2 mglsin α , или |
|
dt2 |
l |
|
|||||||||
sin α α. |
Обозначим |
: |
g |
|
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d2α |
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение движения маятника |
|
2 |
|
0 |
(1.6.3) |
||||||||||
dt |
2 |
|
ω0α |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- Это уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения (1.5.3) имеет вид:
α αm cos(ω0t φ)
|
g |
|
|
|
|
|
ω0 |
|
T 2π |
l |
|
||
l |
|
g |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Т – зависит только от длины маятника и ускорения |
16 |
свободного падения. |
|
Физический маятник – это
твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей
через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С
Вращающий момент маятника:
M mgl sin α
l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С.
Обозначим:
J – момент инерции маятника относит. точки подвеса17O.
d2α |
d2α |
- угловое ускорение, тогда |
J dt2 mglsinα |
ε dt2 |
|
sin α α |
|
Уравнение динамики вращательного движения
|
d2α |
ω02α 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α αm cos(ω0t φ) |
|
|
|
|
|
|
||||
, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω02 mgl |
T 2π |
J |
|
lпр. |
|
J |
T 2π |
lпр. |
|
||
mgl |
|
||||||||||
|
g |
|
|||||||||
|
ml |
|
|||||||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lпр. – приведенная длина физического маятника – это длина такого
математического маятника, период колебания которого совпадает с
периодом колебаний данного физического маятника.
18
• Точка O' называется центром
качаний
• Применяя теорему Штейнера, получим:
l |
|
|
J |
|
J |
C |
ml2 |
|
J |
C |
l l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пр. |
|
|
ml |
|
|
|
ml |
|
ml |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lпр. всегда больше l. Точки О и О'
всегда будут лежать по обе
19
стороны от точки С.
Точка подвеса О маятника и центр качаний O' обладают свойством взаимозаменяемости .
На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника.
Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника.
20
• Все приведенные
соотношения для математического и физического маятников справедливы для
малых углов отклонения (меньше 15°), когда x lα
мало отличается от длины хордыl sin α
(меньше чем на 1%).
21