Степенной базис

Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента , которые линейно независимы.

(8)

В этом случае также как и при интерполяции, мы будем аппроксимировать экспериментальную зависимость полиномом. Однако степень полинома выбираем обычно (при лангранжевой интерполяции ). Аппроксимирующая кривая в МНК не проходит через значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наименьшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные данные “сглаживаются“ с помощью функции . Если же выбрать, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени , аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки и величинабудет равна нулю. Последнее обстоятельство используется для отладки и тестирования программ, реализующих алгоритмы МНК.

Запишем расширенную матрицу системы нормальных уравнений для базиса:

(9)

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (9) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются “оригинальными” и заполняются с помощью циклического присвоения.

Решение данной задачи показано в следующем фрагменте рабочего листаExcel, на примере аппроксимации данных о количестве осадков степенным полиномом второго порядка. Для того, чтобы посмотреть какие формулы введены в ячейки таблицы, щелкните два раза <ЛК> мыши по приведенному фрагменту.

22