Метод средних прямоугольников
|
b |
|
n 1 |
|
i |
|
n |
i |
1 |
|
I |
|
f (x)dx |
|
S |
|
i |
) |
|||
|
|
|
h |
f (x |
|
|||||
|
a |
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
2 |
|
n - число интервалов разбиения
31
Название метода
метод
прямоугольников
метод трапеций
метод Симпсона
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадратурная формула |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I f (x)dx f (zi )hi R |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
xi 1 zi |
|
xi |
если zi xi 1 |
- метод «левых» прямо - ков |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zi |
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- метод «правых» прямо - ков |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x |
1 |
- метод «средних» прямо - ков |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|||||
|
|
I |
f (x)dx |
|
|
h |
f |
|
) |
R |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(x |
f (x ) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
b |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
I |
|
f (x)dx |
|
|
|
|
|
2 |
f (x |
|
|
|
2 |
|
) f (b) |
|
R |
|||||||
|
|
|
f (a) 4 |
|
2 i 1 |
) 2 f (x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hi xi |
xi 1 |
|
– шаг интегрирования |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n – степень интерполяционного полинома |
|
|
32 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Главный член погрешности метода
Метод |
|
|
|
на отрезке [xi-1, xi] |
|
|
||||||||
средних |
R |
|
1 |
|
|
h3 |
|
f (II ) (x |
|
) |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
прямоугольников |
n |
24 |
|
|
i |
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
трапеций |
R |
|
|
1 |
|
h3 |
f (II ) (x ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n |
12 |
|
|
|
i |
i |
|
|
|||||
|
R |
|
|
|
h |
4 |
|
f (IV ) (x ) |
|
|
||||
Симпсона |
|
|
i |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
|
|
|
180 |
|
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где h |
- шаг интегрирования на i – ом интервале разбиения (длина интервала [xi-1, xi]) |
i |
|
f(II ) , f (IV )
-вторая и четвертая производные подынтегральной функции f(x)
33
Первый вариант
b |
N |
f (x)dx b a f (xi ) |
|
a |
N i 1 |
1
Погрешность интегрирования: N 2
N - число сгенерированных значений x
Второй вариант
Вычисляемый интеграл приводится к виду:
1 f (x)dx
0
где 0 f (x) 1 на интервале 0, 1
b |
f (x)dx |
S |
|
N |
|||
a |
|
где S - количество точек, попавших под кривую y=f(x)
N - число сгенерированных значений x
34