
- •МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
- •сущность применения численных методов
- •Схема вычислительного эксперимента
- •Постановка задачи:
- •Этапы отделения корней для (1):
- •Решаемое уравнение:
- •Вывод рекуррентного соотношения для вычисления приближения к корню:
- •Блок схема алгоритма решения
- •метод половинного деления
- •Постановка задачи:
- •Понятие корректности постановки задачи (записи СЛАУ):
- •Аппроксимация функции - подмена одной функции f(x) другой функцией
- •В качестве восстанавливающих функции часто используют полиномы:
- •Пусть функция f(x) задана таблицей значений на отрезке изменения аргумента
- •Если в качестве аппроксимирующей функции выбран алгебраический полином степени n:
- •Алгебраический полином представляется в виде:
- •Из условия k (xk ) 1 находим k :
- •Интерполяционный полином Ньютона:
- •Погрешность интерполирования (остаточный член интерполяционной формулы):
- •Задача состоит в том , чтобы подобрать узлы xk x 0 , xn
- •Пусть восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей на интервале
- •Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной
- •В матричном виде система:
- •Восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей:
- •Найдем частные производные по c0 ,c1 и приравняем их к нулю:
- •Постановка задачи
- •Использование формулы Ньютона-Лейбница затруднительно, если:
- •Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, первообразную
- •Метод средних прямоугольников
- •Название метода
- •Главный член погрешности метода
- •Первый вариант

Погрешность интерполирования (остаточный член интерполяционной формулы):
rn (x) f (x) Pn (x)
где f (x) - восстанавливаемая функция Pn (x) - интерполяционный полином
Погрешность интерполирования на интервале [x0, xn] определяется следующим соотношением:
|
f (x) P (x) |
f (n 1) ( ) |
(x) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
(n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где x 0 , xn и |
(x) (x x0 )(x x1)....(x xn ) |
|
|||||||||||||||||||
Оценка точности восстановления функции: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
f (x) P (x) |
|
|
|
Mn 1 |
|
|
(x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
где Mn 1 |
|
max |
|
f (n 1) (x) |
|
|
|
x x0 , xn |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
21 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Задача состоит в том , чтобы подобрать узлы xk x 0 , xn ,k 0,1,....,n так чтобы минимизировать величину:
max x x0 x x1 ... x xn
Решение данной задачи определяется следующим соотношением:
max (x) (xn x0 )n 1
22n 1
Тогда оценка точности восстановления функции:
f (x) Pn (x) |
|
|
M |
n 1 |
(x |
x )n 1 |
|
|
|||||||
|
|
n |
0 |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
(n 1)! |
|
|
22n 1 |
|
|
|
|
|
22

Пусть восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей на интервале
x0 |
, xn : |
x0 |
x1 |
… |
xn |
|
x |
||||
|
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
… |
f(xn) |
Введем непрерывную функцию (x)
для аппроксимации функции f(x)
Отклонение функции (x) от f(x) в узловых точках определяется:
i f (xi ) (xi )
Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений (x) от f(x) в узловых точках была минимальна:
n |
n |
2 |
Q i2 |
(xi ) f (xi ) |
min |
i 0 |
i 0 |
|
23

Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной
комбинации:
(x) c0 0 (x) c1 1(x) ... cm m (x)
где 0 (x), 1(x),..., m (x) , m n - базисные функции c0 ,c1,...,cm - коэффициенты
Коэффициенты c0 ,c1,...,cm из условия минимума функции Q:
Qc0Qc1
.....
Qcm
n |
|
|
|
2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 0 (xi ) 0 |
|||
i 0 |
|
|
|
n |
n |
n |
2 |
|
min(xi ) 0 |
||
2 i 0 Q i2 |
(xi ) f (xi ) |
||
|
i 0 |
i 0 |
|
n
2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) m (xi ) 0
i 0
24

В матричном виде система:
|
Q |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 0 (xi ) 0 |
|||||||||||||||
|
|
c |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Q |
2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 1(xi ) 0 |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
c1 |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
..... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) m (xi ) 0 |
||||||||||||||
c |
|||||||||||||||||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
выглядит так : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( 0 , 0 ) |
( 0 , 1) |
... |
( 0 , m ) |
|
|
|
c0 |
|
|
|
( 0 , f ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
( 0 , 1) |
( 1, 1) |
... |
( 1, m ) |
|
|
|
c1 |
|
|
|
( 1, f ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
...... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
( 0 , m ) |
( 1, m ) |
|
( m , m ) |
|
|
|
cm |
|
|
|
( m , f ) |
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ( j , k ) j (xi ) k (xi ) - скалярное произведение базисных функций |
|||||||||||||||||
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
(xi ) fi - скалярные произведения элементов столбца свободных |
|||||||||||||||
( k , f ) k |
|||||||||||||||||
|
i 0 |
|
членов |
|
|
|
|
|
|
25 |

Восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей:
x |
x0 |
x1 |
… |
xn |
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
… |
f(xn) |
Вкачестве аппроксимирующей функции возьмем:
(x) c0 c1 x
Требуется определить коэффициенты c0 ,c1
Коэффициенты c0 ,c1 находим из условия:
n |
f (xi ) |
2 |
Q c0 c1 xi |
min |
|
i 0 |
|
|
26

Найдем частные производные по c0 ,c1 и приравняем их к нулю:
Qc0Qc1
|
0 |
1 i |
i |
|
0 |
|
2 |
c |
c x |
f (x ) |
|
|
|
|
0 |
1 i |
i |
|
i |
0 |
2 |
c |
c x |
f (x ) |
|
x |
|
Разрешив получившуюся систему уравнений относительно коэффициентов |
|||||||||||||||
c0 |
,c1 |
получим: |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
c i 0 |
f (x ) c |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
i |
n |
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i i |
||||||
|
|
|
|
(n 1) |
x |
|
f (x ) |
|
y |
x |
||||||
|
|
|
c1 |
i 0 |
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(n 1) |
|
|
x2 |
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
i 0 |
|
27

Постановка задачи |
J b |
|
Требуется вычислить интеграл вида: |
f (x)dx |
|
|
a |
|
где a, b - нижний и верхний пределы интегрирования f (x) - непрерывная функция на интервале a,b
Определенным интегралом функции f (x) , взятом на интервале a,b
называется: |
b |
n |
|
f (x)dx lim f (xi ) xi |
|
|
a |
Xi 0 i 1 |
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
J b f (x)dx F(b) F(a)
a
где F(b), F(a) - первообразная функции f(x), вычисленная в
пределах a и b
28

Использование формулы Ньютона-Лейбница затруднительно, если:
1)вид подынтегральной функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях
2)значения функции f(x) заданы только на фиксированном
конечном множестве точек xi, т. е. функция задана в виде таблицы
!!! в этих случаях используются методы численного интегрирования !!!
29

Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, первообразную
которой можно выразить в элементарных функциях
Часто f(x) заменяется некоторым интерполяционным многочленом:
|
B |
n |
|
|
I f (x) dx Ci f (xi ) R |
квадратурные формулы |
|
|
|
|
|
|
A |
i 0 |
|
где xi |
– узлы интерполирования |
|
i– номер узла
Ci – коэффициенты полинома
R – остаточный член или погрешность метода интегрирования
30