Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Информатика_140800 / 2011-2012-учебный год / 2_семестр / Сам_изучение / Тема_6.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

3.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Погрешность интерполирования (остаточный член интерполяционной формулы):

rn (x) f (x) Pn (x)

где f (x) - восстанавливаемая функция Pn (x) - интерполяционный полином

Погрешность интерполирования на интервале [x0, xn] определяется следующим соотношением:

f (x) P (x)

f (n 1) ( )

(x)

1)!

где x 0 , xn и

(x) (x x0 )(x x1)....(x xn )

Оценка точности восстановления функции:

f (x) P (x)

Mn 1

(x)

(n 1)!

где Mn 1

max

f (n 1) (x)

x x0 , xn

(n 1)!

Задача состоит в том , чтобы подобрать узлы xk x 0 , xn ,k 0,1,....,n так чтобы минимизировать величину:

max x x0 x x1 ... x xn

Решение данной задачи определяется следующим соотношением:

max (x) (xn x0 )n 1

22n 1

Тогда оценка точности восстановления функции:


f (x) Pn (x)	M	n 1	(x	x )n 1

			n	0

	(n 1)!			22n 1

Пусть восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей на интервале

x0	, xn :	x0	x1	…	xn
	x	x0	x1	…	xn
	f(x)	f(x0)	f(x1)	…	f(xn)

Введем непрерывную функцию (x)

для аппроксимации функции f(x)

Отклонение функции (x) от f(x) в узловых точках определяется:

i f (xi ) (xi )

Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений (x) от f(x) в узловых точках была минимальна:

n	n	2
Q i2	(xi ) f (xi )	min
i 0	i 0

Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной

комбинации:

(x) c0 0 (x) c1 1(x) ... cm m (x)

где 0 (x), 1(x),..., m (x) , m n - базисные функции c0 ,c1,...,cm - коэффициенты

Коэффициенты c0 ,c1,...,cm из условия минимума функции Q:

Qc0Qc1

.....

Qcm

n
2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 0 (xi ) 0
i 0
n	n	n	2
	n	n	min(xi ) 0
2 i 0 Q i2		(xi ) f (xi )	min(xi ) 0
	i 0	i 0

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) m (xi ) 0

i 0

В матричном виде система:

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 0 (xi ) 0

i 0

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 1(xi ) 0

i 0

.....

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) m (xi ) 0

i 0

выглядит так :

( 0 , 0 )

( 0 , 1)

...

( 0 , m )

( 0 , f )

( 0 , 1)

( 1, 1)

...

( 1, m )

( 1, f )

......

...

( 0 , m )

( 1, m )

( m , m )

( m , f )

где ( j , k ) j (xi ) k (xi ) - скалярное произведение базисных функций

j 0

(xi ) fi - скалярные произведения элементов столбца свободных

( k , f ) k

i 0

членов

Восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей:

x	x0	x1	…	xn
f(x)	f(x0)	f(x1)	…	f(xn)

Вкачестве аппроксимирующей функции возьмем:

(x) c0 c1 x

Требуется определить коэффициенты c0 ,c1

Коэффициенты c0 ,c1 находим из условия:

n	f (xi )	2
Q c0 c1 xi	f (xi )	min
i 0

Найдем частные производные по c0 ,c1 и приравняем их к нулю:

Qc0Qc1

	0	1 i	i	0
2	c	c x	f (x )	0
	0	1 i	i	i	0
2	c	c x	f (x )	x	0

Разрешив получившуюся систему уравнений относительно коэффициентов

,c1

получим:

c i 0

f (x ) c

i 0

n 1

i i

(n 1)

f (x )

i 0

(n 1)

i 0

Постановка задачи	J b
Требуется вычислить интеграл вида:	J b	f (x)dx
	a

где a, b - нижний и верхний пределы интегрирования f (x) - непрерывная функция на интервале a,b

Определенным интегралом функции f (x) , взятом на интервале a,b

называется:	b	n
	f (x)dx lim f (xi ) xi
	a	Xi 0 i 1

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

J b f (x)dx F(b) F(a)

где F(b), F(a) - первообразная функции f(x), вычисленная в

пределах a и b

Использование формулы Ньютона-Лейбница затруднительно, если:

1)вид подынтегральной функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях

2)значения функции f(x) заданы только на фиксированном

конечном множестве точек xi, т. е. функция задана в виде таблицы

!!! в этих случаях используются методы численного интегрирования !!!

Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, первообразную

которой можно выразить в элементарных функциях

Часто f(x) заменяется некоторым интерполяционным многочленом:

	B	n
	I f (x) dx Ci f (xi ) R		квадратурные формулы
			квадратурные формулы
	A	i 0
где xi	– узлы интерполирования

i– номер узла

Ci – коэффициенты полинома

R – остаточный член или погрешность метода интегрирования