Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
60
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
3.34 Mб
Скачать

Погрешность интерполирования (остаточный член интерполяционной формулы):

rn (x) f (x) Pn (x)

где f (x) - восстанавливаемая функция Pn (x) - интерполяционный полином

Погрешность интерполирования на интервале [x0, xn] определяется следующим соотношением:

 

f (x) P (x)

f (n 1) ( )

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(n

1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x 0 , xn и

(x) (x x0 )(x x1)....(x xn )

 

Оценка точности восстановления функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) P (x)

 

 

 

Mn 1

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Mn 1

 

max

 

f (n 1) (x)

 

 

 

x x0 , xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)!

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача состоит в том , чтобы подобрать узлы xk x 0 , xn ,k 0,1,....,n так чтобы минимизировать величину:

max x x0 x x1 ... x xn

Решение данной задачи определяется следующим соотношением:

max (x) (xn x0 )n 1

22n 1

Тогда оценка точности восстановления функции:

f (x) Pn (x)

 

 

M

n 1

(x

x )n 1

 

 

 

n

0

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)!

 

 

22n 1

 

 

 

 

22

Пусть восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей на интервале

x0

, xn :

x0

x1

xn

 

x

 

f(x)

f(x0)

f(x1)

f(xn)

Введем непрерывную функцию (x)

для аппроксимации функции f(x)

Отклонение функции (x) от f(x) в узловых точках определяется:

i f (xi ) (xi )

Потребуем, чтобы сумма квадратов отклонений (x) от f(x) в узловых точках была минимальна:

n

n

2

Q i2

(xi ) f (xi )

min

i 0

i 0

 

23

Наиболее распространен способ выбора функции (x) в виде линейной

комбинации:

(x) c0 0 (x) c1 1(x) ... cm m (x)

где 0 (x), 1(x),..., m (x) , m n - базисные функции c0 ,c1,...,cm - коэффициенты

Коэффициенты c0 ,c1,...,cm из условия минимума функции Q:

Qc0Qc1

.....

Qcm

n

 

 

 

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 0 (xi ) 0

i 0

 

 

 

n

n

n

2

 

min(xi ) 0

2 i 0 Q i2

(xi ) f (xi )

 

i 0

i 0

 

n

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) m (xi ) 0

i 0

24

В матричном виде система:

 

Q

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 0 (xi ) 0

 

 

c

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) 1(xi ) 0

 

 

 

c1

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 c0 0 (xi ) c1 1(xi ) ... cm m (xi ) f (xi ) m (xi ) 0

c

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выглядит так :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 0 , 0 )

( 0 , 1)

...

( 0 , m )

 

 

 

c0

 

 

 

( 0 , f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 0 , 1)

( 1, 1)

...

( 1, m )

 

 

 

c1

 

 

 

( 1, f )

 

 

 

 

 

 

 

......

 

 

 

 

...

 

 

 

...

 

 

 

( 0 , m )

( 1, m )

 

( m , m )

 

 

 

cm

 

 

 

( m , f )

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где ( j , k ) j (xi ) k (xi ) - скалярное произведение базисных функций

 

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

(xi ) fi - скалярные произведения элементов столбца свободных

( k , f ) k

 

i 0

 

членов

 

 

 

 

 

 

25

Восстанавливаемая функция f(x) задана таблицей:

x

x0

x1

xn

f(x)

f(x0)

f(x1)

f(xn)

Вкачестве аппроксимирующей функции возьмем:

(x) c0 c1 x

Требуется определить коэффициенты c0 ,c1

Коэффициенты c0 ,c1 находим из условия:

n

f (xi )

2

Q c0 c1 xi

min

i 0

 

 

26

Найдем частные производные по c0 ,c1 и приравняем их к нулю:

Qc0Qc1

 

0

1 i

i

 

0

 

2

c

c x

f (x )

 

 

 

0

1 i

i

 

i

0

2

c

c x

f (x )

 

x

 

Разрешив получившуюся систему уравнений относительно коэффициентов

c0

,c1

получим:

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

c i 0

f (x ) c

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

i

n

 

n

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

i i

 

 

 

 

(n 1)

x

 

f (x )

 

y

x

 

 

 

c1

i 0

 

 

 

 

 

 

i 0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

 

x2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0

 

 

i 0

 

27

Постановка задачи

J b

 

Требуется вычислить интеграл вида:

f (x)dx

 

a

 

где a, b - нижний и верхний пределы интегрирования f (x) - непрерывная функция на интервале a,b

Определенным интегралом функции f (x) , взятом на интервале a,b

называется:

b

n

 

f (x)dx lim f (xi ) xi

 

a

Xi 0 i 1

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

J b f (x)dx F(b) F(a)

a

где F(b), F(a) - первообразная функции f(x), вычисленная в

пределах a и b

28

Использование формулы Ньютона-Лейбница затруднительно, если:

1)вид подынтегральной функции f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях

2)значения функции f(x) заданы только на фиксированном

конечном множестве точек xi, т. е. функция задана в виде таблицы

!!! в этих случаях используются методы численного интегрирования !!!

29

Суть методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции f(x) вспомогательной, первообразную

которой можно выразить в элементарных функциях

Часто f(x) заменяется некоторым интерполяционным многочленом:

 

B

n

 

 

I f (x) dx Ci f (xi ) R

квадратурные формулы

 

 

 

 

A

i 0

 

где xi

– узлы интерполирования

 

i– номер узла

Ci – коэффициенты полинома

R – остаточный член или погрешность метода интегрирования

30