МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Численные методы и алгоритмы
(лекции по курсу Информатика для бакалавров направления 140800 )
Преподаватель каф. ЭАФУ
Нагайцева Ольга Викторовна
Томск 2012
сущность применения численных методов
численные методы:
решения алгебраических уравнений
решения СЛАУ
восстановления функций
вычисления определенных интегралов
2
Схема вычислительного эксперимента
3
Постановка задачи:
f (x, p1, p2 ,..., pn ) 0 (1)
где f - заданная функция
x - неизвестная величина
p1, p2 ,..., pn - параметры задачи
В алгебраических уравнениях: |
|
|
|
|
||||||
f (x) p |
p x p |
2 |
x2 |
|
|
... |
p |
n |
xn |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример: 2 x |
3 0 |
|
|
|
|
||||
В трансцендентных уравнениях:
f(x) - содержит трансцендентные функции (логарифмическая, тригонометрическая и др.)
Пример: sin(x) 2 x 0
Решения (корни) уравнения (1) такие значения x, которые при подстановке в уравнение (1) обращают его в тождество
Численное решение:
Этапы решения:
отделение корней
уточнение отделенных корней
Методы уточнения корней:
метод хорд
метод половинного деления
метод Ньютона
метод секущих
метод простых итераций
и др.
4
Этапы отделения корней для (1):
1) |
Области |
x x0 , xn |
разбиваем с шагом h |
|
|
на малые интервалы |
|
|
|
2) |
При фиксированных |
p1, p2 ,..., pn вычисляем |
||
|
значения f и помещаем в таблицу: |
|
||
|
x |
x0 |
… |
xn |
f(x) 
f(x0) 
… 
f(xn)
3) По таблице строим график f(x):
+ +
-
Условие проверки смены знака для непрерывной функции:
f (x1) f (x2 ) 0 (2)
Алгоритм отделения корней
[x0, xn] и шаг изменения аргумента x (h)
2)Циклически изменяем аргумент x с
шагом h
3)Вычисляем левую часть уравнения (1)
4)По выражению (2) определяем есть ли на каждом выделенном интервале изменения аргумента х корень
5
6
Решаемое уравнение: |
f (x, p1, p2 ,..., pn ) 0 |
Предусловия:
1)cчитаем, что отделение корней произведено и на отрезке [a, b] расположен один корень
2)корень необходимо уточнить с погрешностью
Графическая интерпретация решения :
Критерии окончания уточнения корня:
1) Попадание в область локализации корня:
b a
2) Близость к нулю вычисленного значения левой части уравнения :
f (xk )
7
Вывод рекуррентного соотношения для вычисления приближения к корню:
1) Уравнение прямой линии, проходящей через точки f1 = f(a) и f2 = f(b) запишем в виде:
f (x) k x c
2) Коэффициенты k и с определим из условий:
f1 k aс
f2 k bс
3)Вычитая левые и правые части данных соотношений, получим:
k f2 f1 b a
c f1 k a
4) Соотношение для расчета приближения к корню:
x a |
b a |
|
f |
|
|
||
|
f 2 f |
1 |
|
|
1 |
|
|
Условие для смещения границ интервала в область локализации корня:
если f (a) f (x0 ) 0 то a x0
иначе b x0
8
Блок схема алгоритма решения
9
метод половинного деления
метод Ньютона
модифицированный метод Ньютона
метод касательных
метод простых итераций
10