Информатика_140800 / 2011-2012-учебный год / 2_семестр / Сам_изучение / Оптимальный выбор узлов

Погрешность интерполирования

3.3.1 Остаточный член интерполяционной формулы

Заменяя функцию интерполяционным полиномом , мы допускаем погрешность (3.3.1):

(3.3.1)

которая называется погрешностью интерполирования или остаточным членом интерполяционной формулы.

В узлах интерполирования эта погрешность равна нулю.

Погрешность интерполирования определяется следующим соотношением (3.3.2):

(3.3.2)

где и

Отсюда следует оценка точности восстановления функции (3.3.3):

(3.3.3)

где

(3.3.4)

где .

В частности, если - алгебраический многочлен степени , то интерполирование, проведено по любым точкам , осуществляется точно.

Данная оценка справедлива как для формулы Лагранжа. Та ки для формулы Ньютона.

3.3.2 Оптимальный выбор узлов

Величину , входящую в оценку точности интерполирования, можно минимизировать за счет выбора узлов интерполирования.

Задача состоит в том, чтобы подобрать узлы , так чтобы минимизировать величину:

Решение данной задачи определяется следующим соотношением:

(3.3.5)

и оценка (3.3.3) примет вид:

(3.3.6)

Но при этом следует помнить, что бесконечное увеличение числа узлов может и не привести к уменьшению ошибки интерполяции. Об этом более подробно можно прочесть в А.А. Самарский и др. Численные методы, 1989.