Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия и методы решения
Основные понятия
Определение 1
Дифференциальным уравнением n порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=f(x) и её производную n порядка и меньше.
Основные понятия
2 формы записи дифференциального уравнения:
1. |
F(x; y; y\ ;…y(n))=0 |
неявная |
2. |
y(n) = f(x, y,…y(n-1) ) |
явная |
Основные понятия
Определение 2
Решением ДУ n порядка является любая n раз дифференцируемая функция y=f(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в верное тождество.
Основные понятия
Определение 3
Начальным условием для ДУ
n порядка является задание значения искомой функции и её производных при заданном значении независимой переменной.
y(x0 ) y0
y\ (x ) y\
0
....................0
y(n 1) (x0 ) y(n 1)0
Основные понятия
Определение 4
Общим решением ДУ n порядка называется функция
y=y(x, C1; C2;…Cn), которая удовлетворяет следующим условиям:
1.Функция содержит произвольные константы, число которых равно порядку уравнения;
2.y=y(x, C1; C2;…Cn) является решением при любых С;
3.Начальные условия определяют константы единственным образом.
Уравнение вида y(n)=f(x)
Решается путем последовательного интегрирования:
y(n 1) f (x)dx F1 (x) C1
y(n 2) (F1 (x) C1 )dx F2 (x) C1 x C2
Уравнение вида F(x; y(n-1) y(n))=0
В уравнении отсутствует y.
Используется замена: y\=z(x)
F(x; y\ y\\) → F(x; z(x); z\(x))
Уравнение вида F(y; y(n-1) y(n))=0
В уравнении отсутствует x.
Используется замена: yx\=p(y)
yxx\\=py\ . yx\ = p .py\
Линейные однородные уравнения
Общий вид уравнения:
y(n) a1 (x) y(n 1) a2 (x) y(n 2) ... an (x) y 0
Общее решение уравнения:
yC1 y1 C2 y2 ... Cn yn
y1, y1,...yn – линейно-независимые частные решения
C1, C2,...Cn – произвольные постоянные