Лекционно-практические занятия по теме
Линейная алгебра
Введение. Понятие матрицы
Система линейных уравнений имеет вид
a11 x1 |
a12 x2 |
... a1n xn b1 |
a21 x1 |
a22 x2 |
... a2n xn b2 |
......................................... |
||
|
am2 x2 |
... amn xn bm |
am1 x1 |
||
Таблица, составленная из коэффициентов при |
||||
неизвестных, |
|
|
|
|
называется матрицей. Для данной системы |
||||
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
основная матрица: |
|
|
|
|
|
a22 |
... |
Матрица размера (mxn) |
|
a21 |
a2n |
|||
A |
... |
... |
... |
|
... |
|
|||
|
|
|
|
|
|
am2 |
... |
|
|
am1 |
amn |
|
||
Любая прямоугольная таблица чисел, состоящая
из m строк и n столбцов, называется матрицей размера (mхn)
Числа, образующие матрицу, называются элементами матриц
Например, система из трех уравнений с тремя неизвестными и ее основная матрица
2x1 4x2 5x3 1 |
2 |
4 |
5 |
|||||||
|
3x1 x2 2x3 62 |
|
3 |
1 |
2 |
|
||||
|
A |
|
||||||||
|
4x 7x |
2 |
x |
3 |
4 |
|
4 |
7 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Квадратная матрица размера (3х3) или матрица 3-го порядка
В этой же системе можно выписать в виде матрицы столбец
свободных членов |
1 |
|
|
|
6 |
|
Матрица - столбец размера (3х1) |
B |
|
||
|
4 |
|
|
|
|
|
C 2 |
4 |
5 |
1 |
, размер матрицы (1х |
Можно записать матрицу-строку |
|
|
|
|
В квадратных матрицах можно выделить главную и побочную диа
|
2 |
4 |
5 побочная |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
|
4 |
7 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
главная |
Для квадратных матриц можно вычислить определитель.
Определитель квадратной матрицы есть некоторое число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенному правилу, которое будет сформулировано после введения понятий миноров и алгебраических
дополнений элементов определителя.
Минором элемента определителя называется определитель, полученный после вычеркивания из исходного строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.
Алгебраическое дополнение элемента – это минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма номеров строки и столбца, на которых находится элемент – четная, и со знаком (-), если эта сумма – нечетная.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
M11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 1 |
A11 ( 1) |
1 1 |
M11 |
|
M11 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 4 |
|
A ( 1)2 3 |
M |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
M |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
M23 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
23 |
|
|
|
23 |
|
|
|
4 |
|
7 |
|
|
23 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычисление определителей
1. Определитель 1-го порядка равен самому элементу
1 a11 a11
Например: 1 |
|
2 |
|
2, |
1 |
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
2. Определитель 2-го порядка находится по правилу
ab
2 c d a d b c
Определитель 2-го порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагонали.
|
|
2 |
3 |
|
2 5 ( 3) 4 10 ( 12) 10 12 22 |
||
2 |
|
|
|||||
Например: |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
2 |
|
( 6) 7 ( 2) ( 3) 42 6 48 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
Определитель 3-го порядка находится путем разложения определителя по элементам строки или столбца.
При этом используется
Основное правило вычисления определителя: Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения
Например, разложение определителя по элементам 1-ой строк будет иметь вид
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a21 |
a22 |
a23 |
a11 |
A11 a12 A12 a13 A13 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ( 1)1 1 a22 |
a23 |
|
a ( 1)1 2 |
a21 |
a23 |
|
a ( 1)1 3 |
a21 |
a22 |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
11 |
|
a32 |
a33 |
|
12 |
|
a31 |
a33 |
|
13 |
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример вычисления определителя путем разложения по элементам первой строки:
|
|
1 |
4 |
2 |
|
1 1 |
|
3 |
2 |
|
1 2 |
|
5 |
2 |
|
1 3 |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 ( 1) |
|
6 |
|
( 4) ( 1) |
|
6 |
2 ( 1) |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
4 |
1 |
6 |
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(3 6 ( 2) ( 1)) 4 (5 6 ( 2) 4) 2 (5 ( 1) |
3 4) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
(18 2) 4 (30 8) 2 ( 5 12) 16 |
152 34 |
134 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Наиболее выгодным является разложение определителя по элем того ряда, в котором все элементы, кроме одного, равны нулю
Например, данный определитель наиболее
выгодно |
|
|
|
|
|
|
||
разложить |
|
по элементам 2-й строки |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
5 |
1 |
4 |
|
2 1 1 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
0 0 3 ( 1) |
0 0 |
||||
|
|
6 |
2 |
7 |
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 (( 1) 7 ( 2) 4) 3 ( 7 8) 3 1 3
Если строк или столбцов с нулями нет, то их можно получить, используя элементарные преобразования, не меняющие
величины определителя.
Согласно свойству определителей: Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, предварительно умноженные на число.
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
2 2 |
|
4 3 |
|
|
|
|
|
6 4 |
|
|
|
|
8 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
3 3 |
|
|
6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
2 |
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|
8 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 1 |
|
|
|
|
16 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( 1)2 7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 7 |
70 7 |
|
|
63 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
46 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 13 |
|
45 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
27 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( 1) ( 1) |
2 |
|
|
|
|
|
63 |
|
|
|
|
46 |
|
|
|
( 63 ( 27) ( 46) ( 37)) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
37 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(1701 1702) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Свойства определителей
1. Постоянный множитель из элементов какого либо ряда можно2 выносить5 1 за знак2 определителя5 1
4 |
6 |
2 2 2 |
3 1 |
|
8 |
7 |
3 |
8 |
7 3 |
2. Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо ряда равны нулю
2 3 04 7 0 0
911 0
3.Определитель равен нулю, если есть два ряда, соответствующие элементы которых равны или
|
|
пропорциональны |
|
6 |
1 |
12 |
|
||
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
8 |
7 |
1 0 |
|
3 |
5 |
6 |
0 |
|
|
4 |
2 |
3 |
|
1 |
4 |
2 |
|
Решение систем методом Крамера
С вычислением определителей связан один из методов реше систем линейных уравнений – метод Крамера.
Рассмотрим его на примере.
|
2x1 4x2 |
5x3 0 |
Для решения системы необходимо |
|||
|
3x1 x2 |
2x3 |
10 |
|||
|
вычислить 4 определителя 3-го порядк |
|||||
|
4x x |
2 |
x |
3 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
||
1. Вычисляем главный определитель из коэффициентов при неизвестных
|
2 |
4 |
5 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
3 2 18 |
1 |
|
||||||||||||||
|
3 |
1 |
2 |
|
1 |
|
0 |
3 |
1 ( 1) |
(18 3 1) 55 |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
1 |
1 |
|
4 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычисляем побочные определители для каждого неизве для этого поочередно в главном определители заменяем ст соответствующие одному из неизвестных, столбцом свобо членов