Направляющие косинусы вектора

Z

a

Y

X

Координаты вектора, заданного начальной и конечной точками

Пусть известны координаты начала и конца вектора

Координаты радиуса-вектора точки совпадают с координатами самой точки, поэтому

OB ={x2, y2, z2}, OA ={x1, y1, z1},

И тогда AB ={x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1}.

Координаты вектора равны разности соответствующих коорди конечной и начальной точек.

Расстояние между двумя точками

Пример. Найти расстояние между точкамиA(5; 3;1) и B(3;6; 2) Решение. Образуем вектор, соединяющий точки, и найдем ег

AB 3 5;6 ( 3); 1 2 2;9; 3

d AB ( 2)2 92 ( 3)2 4 81 9 94

Скалярное произведение векторов

b

a

ПРa b

Пример. Найти скалярное произведение векторов, если изв

Свойства скалярного произведения

1.

2.

3.

4. Если два вектора перпендикулярны, тоaестьb , то

скалярное произведение равно их

нулю

5. Если два вектора коллинеарны, то их скалярное произведе равно произведению длин векторов. При этом произведени положительно, если векторы сонаправлены, и отрицательн направления противоположные

(a b) a b

В частности, скалярное произведение вектора самого на себя р скалярному квадрату вектора и равняется квадрату его длины

a a a 2 a 2

Скалярное произведение в координатной форме

Скалярное произведение в координатной форме равно сумм произведений соответствующих координат

Пример. Найти скалярное произведение векторов

Применение скалярного произведения

Скалярное произведение применяется для нахождения:

1.Длины вектора

2.Проекции вектора на вектор

3.Косинуса угла между векторами

4.Проверки условия перпендикулярности векторов

5.Работы силы по перемещению точки

Векторное произведение векторов

1. Векторc перпендикулярен векторуa и векторуb ,

т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат эти векторы

b

a

Векторные произведения векторов декартового базиса

Свойства векторного произведения

1.

2.

3.

4. Векторное произведение двух коллинеарных векторов равн В частности, если векторным образом перемножать вектор на себя, получится

Векторное произведение в координатной фор

Векторное произведение в координатной форме представляет с определитель третьего порядка, в первой строке которого стоя базисные векторы декартовой системы координат, а во второй и третьей строках – координаты перемножаемых ве