2. Прямая в пространстве. Основные
уравнения
1. Уравнение прямой, проходящей через
заданнуюM0 (x0 ;точкуy0 ; z0 ) параллельно sзаданномуm; n; p вектору
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
|
- канонические уравнения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
p |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
s m; n; p - направляющий вектор |
|
|
s m; n; p |
|||||||||||||||||||||||||||
2. Параметрические уравнения |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x x0 |
|
|
y y0 |
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
x mt x0 |
|
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y nt y0 |
|
|
|
|
||||||||
|
m |
n |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z pt z0 |
|
|
|
|
||||
3. Уравнение прямой, проходящей через две |
||||||||||||||||||||||||||||||
заданные1 1 |
|
точки1 1 и |
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
M |
(x |
; y |
; z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s M1M2 |
|||||||||||
|
|
x x1 |
|
|
|
|
|
y y1 |
|
|
z z1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 (x2 ; y2 ; z2 ) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
y |
2 |
y |
|
|
z |
2 |
z |
|
M1 (x1; y1; z1 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Прямая в пространстве. Основные
уравнения
4. Общее уравнение прямой в пространстве
|
A1 x B1 y C1 z D1 0 |
s m; n; p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A2 x B2 y C2 z D2 0 |
|||||||||||
а) Направляющий вектор |
|
|
|
N1 A1; B1;C1 |
||||||||
|
|
|
N2 A2 ; B2 ;C2 |
|||||||||
|
s |
N1 N2 |
|
i |
j |
|
k |
|
||||
|
|
A1 |
B1 |
C1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
A1 x B1 y C1 z0 D1 |
||
б) Нахождение точки M0 (x0 |
; y0 ; z0 ) |
|||||||||||
на прямой |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 x B2 y C2 z0 D2 |
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
- канонические уравнения прямой |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
m |
|
|
n |
p |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Взаимное расположение прямых в пространстве
1. Нахождение угла между прямыми.
Прямые в пространстве заданы каноническими уравнениями, п
угол между прямыми – это угол между направляющими вектор |
||||||||
(s1 s2 ) |
|
m1m2 n1n2 p1 p2 |
s2 |
s1 |
||||
|
|
|
||||||
cos s1 s2 |
m 2 |
n2 |
p2 |
m |
2 n2 |
p2 |
||
|
||||||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2. Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых
словие параллельности прямыхУсловие перпендикулярности прямы
s1 |
|| s2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
s2 |
(s1 s2 ) 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
|
|
|
s2 |
|
|
|
s2 |
|
|
s |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 |
n1n2 |
p1 p2 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние от точки до прямой в пространстве
Задача о нахождении расстояния от точкиM (x ; y ; z ) |
||||||||||||
до прямой |
x x |
|
y y |
|
|
z |
z |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
m |
n |
|
p |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решается так же, как в векторной алгебре находилась высота параллелограмма, построенного на двух известных векторах.
M1 |
(x1; y1 |
; z1 ) |
На векторах |
|
|
|
|
d |
s |
|
M0 M1 x1 x0 ; y1 y0 ; z1 z0 |
|
|
и s m;n; p строим |
||
|
|
|
||
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
|
|
||
|
|
параллелограмм. |
||
|
|
|
|
|
Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние.
Высоту находим как отношение площади параллелограмма к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного
произведения векторов, а длина основания – это длина вектораs
d M 0 M1 s s
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
1. Условие параллельности прямой и плоскости
N A; B;C |
|
|
s m; n; p |
s |
|
|
N |
(N s) 0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Am Bn Cp 0
2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
s m; n; p |
N A; B;C |
|
N || s |
A |
B |
C |
|
m |
||||
|
n |
p |
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
3. Нахождение угла между прямой и плоскостью
N A; B;C |
|
s m; n; p |
Углом между прямой и плоскостью |
|
|
считается угол между этой прямой |
|
|
|
|
и ее ортогональной проекцией на |
|
|
|
|
|
|
|
эту плоскость. На рисунке это угол |
|
|
Из уравнений прямой и плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
известны направляющий вектор |
|
|
|
прямой и вектор нормали плоскости. |
Косинус угла |
между этими векторами легко можно найти. |
|
|
|
в сумме дают 90 градусов, а знач |
Легко заметить, что углы и |
||
cos sin |
|
|
Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус |
| (N s) | |
|
|
| Am Bn Cp | |
положительным |
|||||||||
|
sin |
|
N |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
m2 n2 |
p2 |
|
|
|||||
Нахождение точки пересечения прямой и
плоскости
Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нуж составить систему из уравнений прямой и плоскости
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
t |
|
m |
n |
p |
||||
|
|
|
Ax By Cz D 0
Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид x mt x0
y nt y0z pt z0
Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости
A(mt x0 ) B(nt y0 ) C( pt z0 ) D 0
Из этого уравнения находим параметрt и подставляем его зна в параметрические уравнения , получим координаты точки перес
Составление уравнений плоскости
Составить уравнение плоскости, проходящей через |
|
точку |
a 3; 2;4 |
M0 ( 1;3; 5) |
|
перпендикулярно вектору Исходное уравнение:
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Подставляем координаты точки и вектора
3(x 1) 2( y 3) 4(z 5) 0
Раскрываем скобки
3x 3 2 y 6 4z 20 0
Приводим подобные
3x 2 y 4z 29 0
Получили общее уравнение плоскости.
Решение типовых задач контрольной работы № 4
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через |
|||||
точку |
|
|
a 2; 7;5 |
b 3;0; 4 |
|
M0 ( 1;3; 5) |
|
|
|||
|
параллельно двум векторам |
|
и |
||
N |
|
b |
Используем уравнение |
|
|
|
a |
|
|||
|
|
|
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 |
||
|
|
|
|||
Координаты точки нам известны. Необходимо найти координаты вектора нормали. Из рисунка видно, что в качестве вектора нормали можно взять вектор, являющийся векторным произведением данных в условии задачи векторов, так как такой вектор перпендикулярен каждому из данных векторов, а
|
и плоскости. |
|
|||||
значит перпендикулярен |
|
||||||
i |
j |
k |
|
|
|
Итак, N 28; 7; 21 |
|
N a b 2 |
7 |
5 |
|||||
28i |
7 j |
21k |
|||||
3 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляем все данные в уравнение плоскости |
|||||||
28(x 1) 7( y 3) 21(z 5) 0 |
|
|
4(x 1) ( y 3) 3(z 5) 0 |
||||
4x y 3z 8 0
Аналогично решаются задачи с такими условиями: |
|||||||||||||||
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через |
|||||||||||||||
точку x 5 |
|
y |
1 |
|
z 6 |
|
|
P(2; 3;1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и прямую 0 |
4 |
|
|
|
3 |
Из уравнения прямой можно определить |
|||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты направляющего вектора и т |
|||||
|
|
|
M |
|
|
P |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s 0;4; 3 |
M (5;1; 6) |
||||||
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти вектор нормали плоскости |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нужно знать два вектора, параллельны |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этой плоскости. Один из этих векторов |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направляющий вектор прямой, а другой |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор можно получить, соединив две |
||
Итак, вектор нормали |
известные точки MP 3; 4;7 |
||||||||||||||
N s MP |
i |
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
||||||||
|
|
|
16i 9 j |
12k |
|
||||||||||
|
|
|
3 |
4 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Раскрываем скобки и упрощаем |
||||||||||||
16(x 2) 9( y 3) 12(z 1) 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16x 9 y 12z 17 0 |
|