Лекционно-практическое занятие по теме

1. Плоскость

Основные уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости, проходящей через

M (x ; y ; z )

заданную0 0 точку0 0

перпендикулярно

N A; B;C

N A; B;C

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0

2. Общее

плоскости

M0 (x0 ; y0 ; z0 )

Ax By Cz D 0

N A; B;C

- вектор нормали

Z

c

3. Уравнение плоскости « в отрезках»

x

y

z 1

b

Y

a

b

c

a

X

M

(x ; y ; z )

M

2 (x2 ; y2 ; z2 )

M3 (x3 ; y3 ; z3 )

заданные точки 1

1 1 1

,

и

N A; B;C

M (x; y; z)

M1M x x1; y y1; z z1

M2 (x2

; y2

; z2 )

M1 (x1; y1; z1 )

M1M2 x2

x1; y2 y1; z2 z1

M3 (x3 ; y3 ; z3 )

M1M3 x3 x1; y3 y1; z3 z1

x x1

y y1

z z1

0

x2 x1

y2 y1

z2 z1

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Z

x

0

0

4

2

y

0

3

0

Y

z

2

0

0

4

3

X

3x 4 y 6z 12

1) Переносим вправо свободный член уравнения

3x

4 y

6z

2)

Делим на 12, чтобы получить единицу в правой части

12

1

3)

x

y

z

12

12

Убираем коэффициенты из числителей

1

4

3

2

X

0

10/

Соединяем точки прямой линией и получаем

след плоскости на плоскости XOY.

3

Теперь из точек пересечения проводим

y

-2

0

прямые, параллельные оси OZ.

Z

Аналогично строятся все плоскости,

в уравнении которых отсутствует од

переменнаяZ

Z

2

3

Y

Y

-2

7

Y

2

10/3

X

X

X

2x 7z 14 0

3y 2z 6

Построение плоскостей

3. Построить плоскость

3z 8 0

В уравнении отсутствуют две переменные x и y. Такая

плоскость

проходит параллельно и оси OX , и оси OY, т.е. она проходит

параллельно координатной плоскости XOY через точку z=8/3

на оси OZ.

Z

8/

Аналогично строятся плоскости,

в уравнениях которых отсутствую

3

две переменные

Y

0

X

Z

5 y 3 0

4x

9 0

Z

Y

Y

X

9/4

0

X

0

3/5

Уравнения координатных плоскостей

x 0

- уравнение плоскости YOZ

y 0

- уравнение плоскости XOZ

z 0

- уравнение плоскости

XOY

.

Условие параллельности плоскостей

N1

A1; B1;C1

1

N1

|| N2

A1

B1

C1

A

B

2

C

2

N

A ; B

;C

2

2

2

2 2

2. Условие перпендикулярности плоскостей

N1

N1

N2

(N1 N2 ) 0

N2

A1 A2 B1 B2 C1 C2 0

cos cos(N1

,N 2 )

A1 A2 B1 B2 C1 C2

A2

B2

C 2

A2

B2

C 2

1

1

1

2

2

2

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки1

1

1

1

до плоскости

M

(x

; y

; z )

Ax By Cz D 0

находится по формуле

| Ax1 By1 Cz1 D |

d

M1 (x1

; y1

; z1 )

d

A2 B2 C 2