все лекции по самочерновой / кабплоскость

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

a b 4 a 4 b (4 b) b 4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Задача 3. Дано уравнение плоскости 3x 3y 2x 6 0. Найти точки

пересечения этой плоскости с координатными осями.

Решение. Используя уравнение (3.9) перенесем свободный член в правую часть равенства с противоположным знаком и разделим обе части равенства на 6:

т.е. a 2, b 2, c 3 точки пересечения плоскости

координатными

осями - A1 (2,0,0) ,

A2 (0, 2,0) ,

A3 (0,0,3) .

Ответ: A1 (2,0,0) ,

A2 (0, 2,0) ,

A3 (0,0,3) .

Задача 4.

Вычислить площадь

треугольника, отсекаемого прямой

3x 4y 12 0 от координатного угла (рис. 36).

Решение. Найдем отрезок a и b, отсекаемый

прямой от координатных осей:

4 y

3x 4 y 12

a 4; b 3.

Найдем

площадь

заштрихованного

прямоугольного треугольника (рис. 36)

Рис. 36

a b

4 3 6 кв. ед.

Ответ: S = 6 кв. ед.

Задача 5. Составить общее уравнение прямой, которая проходит через точку С(1,1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью,

равной 2 кв. ед. в первой четверти (рис. 37).

Решение. Будем искать уравнение

прямой “в отрезках”

1, причем a > 0 и b > 0.

Так как

точка С(1,1) принадлежит этой

прямой, то ее координаты (х =1, у = 1) будут

удовлетворять уравнению этой прямой

Рис. 37

1a b1 1 b a a b .

Площадь заштрихованного треугольника S 12 a b 2 . Тогда получим два уравнения относительно неизвестных a и b:

тогда a b4 42 2 и уравнение прямой “в отрезках” имеет вид

2x 2y 1 x y 2. Тогда общее уравнение прямой x y 2 0.

Ответ: x y 2 0.

Проведем исследование уравнения прямой, когда в нем отсутствуют некоторые члены. Результаты исследования и геометрическая иллюстрация приведены в табл. 1.

Таблица 1

Вид уравнения

Геометрическая

Вид уравнения

Геометрическая

иллюстрация

Ax By C 0

Ax C 0

x a

A 0, B 0, C 0

прямая || оси ОУ

By C 0

Ax By 0

1, y b

a b 0

A 0, B 0, C 0

ay bx, y a x

прямая оси ОХ

A 0, B 0, C 0

прямая проходит

через начало

координат

Ax 0

By 0

x 0

х=0

y 0

A 0, B 0, C 0

у=0

ось ОУ

ось ОХ

Выводы:

1.Если в уравнении прямой присутствуют все члены, то прямая пересекает координатные оси и отсекает от них отрезки а и b.

2.Если в уравнении прямой отсутствует свободный член, то прямая проходит через начало координат.

3.Если в уравнении прямой отсутствует член, содержащий х или у, то прямая проходит параллельно оси отсутствующей координаты.

Исследование общего уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости может быть полным или неполным, т.е. в нем могут отсутствовать одно или несколько слагаемых. Вид уравнения определяет ориентацию плоскости в пространстве. Для построения плоскости лучше использовать уравнение “в отрезках”. Исследование общего уравнения плоскости представлено в табл. 2.

Таблица 2

Вид уравнения

Геометрическая

Вид уравнения

Геометрическая

иллюстрация

Ax By Cz D 0

Ax By Cz 0

A 0, B 0

C 0, D 0

плоскость

пересекает оси

проходит через

OX, OY, OZ

начало координат

Ax By D 0

Ax Cz D 0

A 0, B 0

C 0, D 0

плоскость

оси

плоскость оси

OУ

By Cz D 0

Ax D 0

A 0, B ,0

A 0, B 0

C 0, D 0

плоскость

оси

плоскость

OХ

плоскости ZOY

By D 0	Z				Cz D 0			Z
y					z			с
b 1					c 1
A 0, B 0					A 0, B 0
C 0, D 0		b	У		C 0, D 0			У
C 0, D 0					C 0, D 0
Х							Х
плоскость							плоскость
плоскости XOZ							плоскости XOУ
							Окончание табл. 2
Ax 0					By 0			Z
A 0, B 0	Z				A 0, B 0		у=0
C 0, D 0					C 0, D 0
					Cz 0			0
		0	У		Cz 0
		0			A 0, B 0			У


Х					C 0, D 0		Х
плоскость ZOY
Задача 6. Построить следующие плоскости:
1) 4x z 8 0; 2) 6x 2y z 0; 3) z 5 0 .							8	Z
							8
Решение:
1) 4x z 8 0	4x	z	1 x	z	1,
	8	8	4	8		4
т.е. a 4, c 8 (рис. 38).						4		У
т.е. a 4, c 8 (рис. 38).								У

Плоскость 4x z 8 0 параллельна оси ОУ;	Х
	Х
	Рис. 38

2) плоскость 6x 2y z 0 проходит через начало координат, т. к.

свободный член D 0. Найдем уравнение прямой, по которой данная плоскость пересекается с

плоскостью ХОУ (рис. 39):

z 0 6x 2y 0 y 3x ;

Найдем уравнение прямой, по которой данная

плоскость пересекается с плоскостью YOZ: x 0 2y z 0 z 2y .

3) z 5 0 z 5. Данная плоскость параллельна плоскости XOY (рис. 40).

Выводы:

1.Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

2.Если в уравнении плоскости отсутствует одна координата, то плоскость параллельна оси

Z z=2y

Рис. 39

0 У

отсутствующей координаты.

Рис. 40

3.Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна координатной плоскости отсутствующей координаты.

4.Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты и свободный член, то это есть координатная плоскость отсутствующих координат.

3.2. Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости и в пространстве

Пусть дана фиксированная точка M 0 и вектор l . Выведем уравнения

прямой на плоскости и в пространстве, проходящие через эту точку ( M 0 )

параллельно вектору l .

Определение 1. Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой.

Будем выводить эти уравнения одновременно на плоскости и в

пространстве.

На плоскости:

В пространстве:

М0(х0,у0)

М0(х0,у0,z0)

l (m, n, p)

l (m, n)

М(х,у)

М(х,у,z)

Рис. 41

Рис. 42

M 0 (x0 , y0 ) – фиксированная точка;

M 0 (x0 , y0 , z0 ) – фиксированная точка;

М(х,у)

– текущая

точка

М(х,у,z) – текущая точка с переменными

переменными координатами;

координатами;

(m, n)

– направляющий вектор

–

направляющий вектор

прямой.

l (m, n, p)

прямой.

Из условия коллинеарности векторов M 0 M

и l

следует

M 0 M tl , но M 0 M r r0 ;

r0 t

l , где t - некоторый параметр.

Выразим радиус-вектор текущей точки

t l

(3.11)

Уравнение (3.11) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости и в пространстве. Запишем это уравнение в координатной форме:

прямая в пространстве:

прямая на плоскости:

x x0 tm

x x0

(3.13)

(3.12)

y y0

Если из уравнений (3.12) и (3.13) исключить параметр t, то получим

уравнение прямой, которое называется каноническим

M 0 M (x x0 , y y0 , z z0 ) ,

M 0 M (x x0 , y y0 ) ,

x x0

y y0

z z0

(3.14)

x x0

y y0

(3.15)

Из канонического уравнения можно получить уравнение прямой,

проходящей через 2 фиксированные точки ( M 1 и M 2 ) (рис. 43):

Рис. 43

M1 (x1 , y1 ), M 2 (x2 , y2 ) –

M1 (x1 , y1 , z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 ) –

фиксированные точки;

M (x, y) – текущая точка с

M (x, y, z) – текущая точка с

переменными координатами.

Вектор M1M 2 является направляющим вектором прямой.

M1M 2 (x2 x1 , y2 y1 ) ;

M1M 2 (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) ;

M1M (x x1 , y y1 ) ;

M1M (x x1 , y y1 , z z1 ) ;

M1M || M1M 2 ,

следовательно, их

M1M || M1M 2 , следовательно, их

координаты пропорциональны:

x x1

y y1

. (3.16)

x x1

y y1

z z1

. (3.17)

x2 x1

y2 y1

z2 z1

x2 x1

Уравнения (3.16) и (3.17) называются уравнениями прямой, проходящей через две точки.

Выводы:

1. Для составления уравнения прямой на плоскости необходимо знать:

а) фиксированную точку M 0 (x0 , y0 ) и нормальный вектор прямой N ( A, B) , перпендикулярный данной прямой;

(m, n)

б) фиксированную точку M 0 (x0 , y0 ) и направляющий вектор l

, параллельный данной прямой;

в) две фиксированные точки M1 (x1 , y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) ;

г)

фиксированную точку

M 0 (x0 , y0 ) и тангенс угла наклона

k tg ,

образованный прямой с осью ОХ;

с) значения отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.

2. Для составления уравнения прямой в пространстве необходимо

знать:

а)

фиксированную

точку

M 0 (x0 , y0 , z0 )

и направляющий

вектор

l (m, n, p) , параллельный данной прямой;

б) две фиксированных точки M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) .

Задача 1.

Составить уравнения

прямых на плоскости, проходящих

через точку

M 0 (2, 1) перпендикулярно вектору N

и параллельно вектору N

, если

N (3,4) (рис. 44).

Решение.

Найдем

уравнение У

прямой

l1 :

вектор N l1

, т.е.

–

нормальный вектор прямой. Будем

N (3,4)

использовать уравнение (3.2):

A(x x0 ) B( y y0 ) 0

3(x 2) 4( y 1) 0

: 3x 4y 2 0.

Найдем уравнение прямой l2 :

вектор N || l2 , т.е. N

является

M0(2,-1)

направляющим вектором прямой l2 .

Будем использовать уравнение

Рис. 44

(3.14):

x x0

y y0

x 2

y 1

4(x 2) 3( y 1)

l2 : 4x 3y 11 0.

Ответ: l1 : 3x 4y 2 0;

l2 :

4x 3y 11 0 .

Задача 2. Составить уравнения прямой,

проходящей через точки

M1 (3, 2) и

M 2 ( 5,1) , вычислить угловой коэффициент k этой прямой.

Решение. Будем использовать уравнение (3.16):

x x1

y y1

x 3

y 2

x 3

y 2

3x 8y 7 0.

5 3

1 2

Выразим у в явном виде, т.е. приведем к уравнению с угловым коэффициентом ( y kx b) :

8y 3x 7 y 83 x 78 , т.е. k 83 .

В(-2,1)

Ответ: y	3	x	7	и k		3	.
	8		8			8

Задача 3. Составить					уравнения прямой, если точка P(2,3) ,

принадлежащая этой прямой, служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую (рис. 45).

Решение.

Вектор

перпендикулярен

прямой

следовательно он является нормаль-

Р(2,3)

ным вектором прямой

OP (2 0,3 0) (2,3) .

Для нахождения уравнения прямой l

будем использовать

уравнение

(3.14)

A(x x0 ) B( y y0 ) 0

2(x 2) 3( y 3) 0

Рис. 45

2x 3y 13 0.

Ответ:

l :

2x 3y 13 0.

Задача

Даны

вершины

треугольника:

A(1, 1), B( 2,1), C(3,5) .

Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А и медианы, проведенной из вершины В (рис. 46).

Решение. Найдем уравнение высоты AD. Для этого найдем уравнение стороны ВС как уравнение прямой, проходящей через точки В и С:

x xB

y yB

x 2

y 1

xC xB

yC yB

3 2

5 1

x 2

y 1

А(1,-1)

Рис. 46

BC : 4x

5y 13 0

(4, 5) BC , следовательно, вектор

и N

направляющим вектором высоты AD.

AD : x x A

y y A , где N (m, n) (4, 5)

x 1

y 1

5x 4 y 1 0 5x 4 y 1 0.

уравнение

С(3,5)

является

Найдем уравнение медианы ВЕ. Медиана делит противоположную сторону пополам. Тогда найдем координаты точки Е из формул деления отрезка пополам:

x			x A xC		1 3	2;	y			y A yC	1 5 2 E(2,2) .
	E							E
		2		2					2		2

Составим уравнение медианы ВЕ как уравнение прямой, проходящей через точки В и Е:

BE :

x xB

y yB

x 2

y 1

x 2

y 1

x 4 y 6 0.

xE xB

yE yB

2 2

2 1

Ответ: высота AD: 5x 4 y 1 0; медиана ВЕ:

x 4y 6 0.

Задача 5. Составить каноническое и параметрическое уравнения

прямой,

проходящей

через

точку

M1 (2,0, 3)

параллельно вектору

(2, 3,5) .

Решение. Каноническое и параметрическое уравнения прямой в

пространстве имеют вид

x x

y y

z z

x x0

mt,

y y0

nt,

z z0

pt,

является направляющим вектором прямой;

где a (m, n, p)

x 2

y 0

z 3

x 2 2t,

3t,

5t.

Ответ: каноническое уравнение

x 2

y 0

z 3

;

x 2 2t,

параметрическое уравнение y 3t,

z 3 5t.

Задача 6. Даны вершины треугольника: A(3,6, 7) , B( 5,2,3) и C(4, 7, 2) . Составить параметрическое уравнение его медианы,

проведенной из вершины С (рис. 47).

Решение. Медиана CD делит стороны АВ пополам, значит,

x A xB

3 5

y A yB

6 2

z A zB

7 3

2; D( 1,4, 2) .

Найдем параметрическое уравнение DC с

направляющим вектором

DC (xC xD , yC yD , zC z D )

(4 1, 7 4, 2 2) (5, 11,0) (m, n, p);

x xC mt 4 5t,

7 11t,

DC : y yC

z zC

Рис.47

x 4 5t,

11t,

Ответ: DC : y 7

z 2.

3.3. Параметрическое уравнение плоскости

Пусть

дана

фиксированная

точка

M 0 (r0 ) и

два

неколлинеарных

уравнение

плоскости,

проходящей через

точку

вектора a и b . Выведем

(M 0 )

параллельно векторам a и b . Векторы

a и b

можно параллельным

переносом опустить в искомую плоскость как свободные векторы (рис. 48).

, y

, z

) - фиксированная точка,

a (a1 , a2 , a3 ) ,

b (b1 , b2 , b3 ) ,

(a || b) ;

M (x, y, z)

- текущая точка с переменными

M 0

координатами.

Вектор

M 0M

r r 0 (x x0 , y y0 , z z0 ) .

Векторы

лежат

одной

a, b ,

плоскости, т.е. являются компланарными,

следовательно,

они

являются

линейно

Рис. 48

зависимыми и один из них является

линейной комбинацией остальных, т.е.

qb .

Выразим радиус-вектор текущей точки

r0 pa

qb .

(3.18)

Получим параметрическое уравнение плоскости в векторном виде. Запишем

это уравнение в координатной форме:

x x

qb ,

(3.19)

y y0

pa2

qb2 ,

z z

qb .

Воспользуемся условием компланарности трех векторов и выведем еще

два

уравнения

плоскости.

Векторы

r0 ,

a, b - компланарны,

следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

0 .

r0 , a, b)

(3.20)

Запишем это уравнение в координатной форме:

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке все лекции по самочерновой

#
30.05.20157.52 Mб46ДОКЛАД №8.ppt
#
30.05.20157.52 Mб46ДОКЛАД №8гот (2).ppt
#
30.05.2015299.01 Кб41замена переменной применение инт=ла.pps
#
30.05.2015203.78 Кб61ин-лы завияс от параметра.pps
#
30.05.2015884.19 Кб41КАБАНЛекции по Линейной алгебре (2 семестр).pdf
#
30.05.20151.12 Mб46кабплоскость.pdf
#
30.05.2015305.15 Кб45криволинейный 2 рода.pps
#
30.05.2015398.85 Кб48КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА ПАХОМОВА LAAG-14.pps
#
30.05.20151.93 Mб47Кривые 2-порBVM_LAAG_Lecture-14.ppt
#
30.05.20151.91 Mб60Л №1, №2 САМОЧЕРН ( 2 курс ЭНИН) Линейные дифференциальные.pptx
#
30.05.201520.19 Mб95ЛЕКЦИЯ №1 ,№2 (ЭНИН) ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ 2012г..ppt