Математический анализ Раздел: Определенный интеграл
Тема: Несобственные интегралы
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§5. Несобственные интегралы
b |
|
Для существования f (x)dx |
необходимы условия: |
1)[a;b] – конечен, a
2)f(x) – ограничена (необходимое условие существования определенного интеграла).
Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного интеграла на случай когда одно из этих условий не выполнено.
1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ). |
|
|
y = f(x) непрерывна на |
[a;b], где |
b a . |
b |
|
|
существует f (x)dx.
b a
Имеем: f (x)dx I (b), D(I) = [a;+ ) .
a
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
функции f(x) по ции I(b) при b
Обозначают: f
Несобственным интегралом I рода от промежутку [a;+ ) называется предел функ-
+ .
(x)dx
a
Таким образом, по определению |
b |
|
f (x)dx lim |
I (b) lim f (x)dx |
(1) |
|
a |
b |
b a |
|
При этом, если предел в правой части формулы (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся.
Впротивном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют
расходящимся.
Если y = f(x) непрерывна на (– ;b] , то аналогично определя- ется и обозначается несобственный интеграл I рода для функции f(x) по промежутку (– ;b]:
b |
|
b |
f (x)dx lim |
f (x)dx. |
|
|
a a |
|
Если y = f(x) непрерывна на , то несобственным интегралом
I рода для функции f(x) по промежутку (– ;+ ) называют
|
c |
|
|
f (x)dx f (x)dx f (x)dx , |
(2) |
||
|
|
c |
|
где c – любое число.
Несобственный интеграл от f(x) по промежутку (– ;+ ) называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (2) сходятся.
В противном случае, несобственный интеграл по промежутку (– ;+ ) называется расходящимся.
Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по промежутку [a;+ ). Для интегралов по промежутку (– ;b] и (– ;+ ) все полученные результаты останутся справедливы.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода.
Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ) и |
f(x) 0 , x [a;+ ). |
b |
|
Тогда f (x)dx – площадь криволинейной трапеции с осно-
a
ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x).
y |
|
|
a |
b |
x |
|
Если несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ) сходится и
равен |
S , то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой |
y = f(x) |
и прямой x = a (криволинейная трапеция с бесконечным |
основанием) имеет площадь S.
В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.
На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые свойства определенных интегралов (свойства 4, 5, 6, 7, 8).
Кроме того, для несобственных интегралов обобщение формулы Ньютона – Лейбница.
Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ). Тогда b [a;+ ) имеем
b |
|
|
|
ba F(b) F(a) |
|
f (x)dx F(x) |
|
||||
|
|||||
|
|||||
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
F(b) F(a) |
|
lim |
f (x)dx lim |
||||
b a |
b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx lim |
F (b) F(a) |
|||
|
|
b |
|
||
|
a |
|
|
|
|
существует
(3)
Обозначим |
lim |
F(b) F(a) F(x) |
|
. |
|
||||
|
|
||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда (3) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx F(x) |
|
F(x) F(a). |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулу (4) называют обобщением формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов по промежутку [a; + ).
Аналогично для несобственных интегралов по промежутку (– ;b] доказывается справедливость формулы
b
f (x)dx F(x) b F(b) xlim F(x).
ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
1) cos xdx;
0
0dx
4)4 x2 ;
xdx
7)1 x2 .
2) a dxxn dx; (a 0)
0
5)e x dx;
3) e x dx;
0
6)ex dx.
2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода
ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения). |
|
|
|
|||||
Пусть f(x) и (x) непрерывны на [a;+ ) и |
c a). |
|||||||
|
0 f(x) (x) , |
x [c; + ) (где |
||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) если |
(x)dx |
– сходится, то |
|
f (x)dx |
тоже сходится, |
|||
|
|
|
||||||
причем |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x)dx (x)dx; |
|
|
|
|||
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) если |
f (x)dx |
– расходится, то |
(x)dx |
тоже рас- |
||||
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
ходится.