Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5176 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
все лекции по самочерновой / ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАХОМОВАLAAG_-13.pps
Скачиваний:
49
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
377.86 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тема: Прямая в пространстве

Лектор Пахомова Е.Г.

2010 г.

§ 13. Прямая в пространстве

1. Уравнения прямой в пространстве

Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .

Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют

одновременно обоим уравнениям,

т.е. являются решениями

системы

Ax By Cz D 0,

 

 

 

 

1

1

1

1

(1)

 

Ax By Cz D 0.

 

2

2

2

2

 

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.

ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно вектору

{m; n; p}

Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют

направляющим вектором этой прямой.

z

M

 

0

 

r

0

r M

Oy x

Уравнение

и систему уравнений

rr0 t

x x0 t m,

y y0 t n,z z0 t p.

(2*)

(2)

называют параметрическими уравнениями прямой в про- странстве (в векторной и координатной форме соответ- ственно).

Пусть в задаче 1

вектор

 

 

 

 

 

не параллелен ни одной из

 

 

 

координатных осей (т.е. m 0,

n 0 и

p 0).

 

 

Уравнения

 

 

x x0

 

 

 

 

y y0

 

 

z z0

 

(3)

 

называют

 

 

m

 

 

 

n

 

 

p

 

 

каноническими

 

уравнениями

прямой

в

пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.

Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

M

1

M

2

Уравнения

x x1

 

y y1

 

z z1

(4)

x2 x1

y2 y1

z2 z1

 

 

называют уравнениями прямой, проходящей через две точки

M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:

Ax By Cz D 0,

 

1 1 1 1

(1)

Ax By Cz D 0.

2 2 2 2

 

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.

а) Координаты точки M0

– это одно

из решений системы (1).

б) Направляющий вектор

[N ,

N

2

]

 

1

 

 

 

где N̄1 = {A1; B1; C1} и N̄2 = {A2; B2; C2} – нормальные векторы

к плоскостям 1

и 2 , уравнения которых входят в общие

уравнения прямой.

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) быть параллельны,

б) пересекаться,

в) скрещиваться.

Пусть прямые ℓ1 и ℓ2

заданы каноническими уравнениями:

 

x x

y y

 

z z

 

 

 

 

 

x x y y z z

 

1

 

1

 

 

1

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

:

 

 

 

 

2

2 2.

 

 

m

n

 

 

 

m

1

 

 

 

 

p

 

 

 

 

2

 

 

n

p

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

Получаем: прямые параллельны их направляющие векто-

 

 

 

 

ры

 

1 {m1; n1; p1}

и 2

{m2

; n2; p2}

коллинеарные, т.е.

выполняется условие:

 

 

m

1

 

n

1

 

p

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

n

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются:

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

1 M 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

M 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получили: прямые ℓ1 и

ℓ2

пересекаются

они не

параллельны и для них выполняетсяM1условиеM2, 1,

,

(7*)

2 0

 

или, в координатной форме,

 

 

 

 

 

 

x x y y z z

 

 

1

2

1

2

1

2

 

 

m

 

n

 

p 0.

(7)

1

 

1

 

1

 

 

 

m

 

n

 

p

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

3)Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

Возможное расположение прямых в пространстве приводит к

 

следующим задачам:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

параллельные прямые

 

расстояние между прямыми

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(т.е. расстояние от точки до прямой)?

2)

пересекающиеся прямые

а) угол между прямыми?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) точка пересечения прямых?

3)

скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) расстояние между прямыми?

Пусть даны 2 прямые:

 

 

 

x x2

 

y y2

 

z z2

 

1 :

x x1

 

y y1

 

z z1

 

и 2 :

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

n1

p1

 

 

 

n2

p2

 

 

 

 

 

{mi ; ni ; pi} – направляющий вектор прямой

ℓi ,

 

 

 

i

 

 

 

Mi(xi;yi;zi) ℓi

(i = 1,2)

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещива- ющимися) прямыми в пространстве.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол между прямой ℓ1 и проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1 .

2

2

1 1

1

 

 

2

 

2

Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1m 2 n1n2 p1 p2

 

 

 

 

( , )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos 1,2

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

m12 n12 p12 m22 n22 p22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

Соседние файлы в папке все лекции по самочерновой
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности