3. Линейные дифференциальные
уравнения n-го порядка
1
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го
порядка называют уравнения вида |
|
|
a0(x) y(n) + a1(x) y(n-1) + …+ an-1(x) y' + |
an(x) y = b (x) , |
(1) |
где a0(x), a1(x), …, an(x) и свободный член |
b(x) – заданные функции |
|
аргумента x и a0(x) 0 . |
|
|
Если ai (x) = const, i = 1,…, n , то уравнение называется линейным ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если b (x) 0, то уравнение называется линейным однородным.
Если b (x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным
(или уравнением с правой частью).
. |
2 |
|
Так как a0(x) 0 , то уравнение (1) можно записать в виде:
y(n) + p (x) y(n – 1) |
+ … + p |
(x) y + |
p (x) y = f (x) . (2) |
1 |
|
n – 1 |
n |
Уравнение (2) называют приведенным. Уравнение (2)-линейное неоднородное уравнение.
В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что p i(x) (i = 1, 2, …, n) и f (x)
непрерывны на некотором отрезке [a;b].
Тогда для уравнения (2) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения.
Следовательно, x0 [a;b] и y0 , y0i существует един- ственное решение уравнения (2), удовлетворяющее условию
y(x0) = y0 , y (x0) = y01 , y (x0) = y02 , … , y(n–1)(x0) = y0n–1 .
3
Линейные ДУ высшего порядка |
|
|
Если f (x) |
0, то уравнение (1) принимает вид: |
|
y(n) + p1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = 0 -ЛОДУ |
(3) |
|
|
Свойства решений ЛОДУ в п. |
|
1. Если y1 (x) – решение ЛОДУ в п |
|
|
|
y(n) + p1(x) y(n-1) + …+ pn-1(x) y' + pn(x) y = 0 , |
(3) |
то функция |
y = C y1 (x), где С = const, тоже является решением этого |
|
ДУ. |
|
|
2. Если y1 , y2 – решения ЛОДУ в п (2), то функция (y1 + y2) – тоже является решением этого ДУ.
3. Если y1 , y2, …, y k – решения ЛОДУ в п (2), то функция
(С1 y1 + С2 y2 + Сk y k)
– тоже является решением этого ДУ для любых постоянных С1, С2, …, Сk.
4
Линейно зависимые и линейно независимые функции
Пусть система из n функций y1, y2,…, yn – определена и непрерывна на интервале (a, b).
Определение. Функции y1, y2,…, yn называются линейно зависимыми на (a, b) если существует числа 1, 2,…, n R такие, что
на этом интервале выполняется тождество
1 y1 + 2 y2 +…+ n yn 0, |
(4) |
|
причем хотя бы одно i 0. |
|
|
Если тождество (4) справедливо лишь при 1 = 2 |
=…= n = 0, то |
|
функции y1,y2,…, yn называются линейно независимыми на (a, b).
5
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО
Определение. Определитель Вронского (вронскиан) функций y1, y2, …,yn , определенных и (n -1) раз дифференцируемых на интервале (a, b)
– это определитель порядка n следующего вида:
W (x) W y1, y2,...yn |
|
y1 |
y2 |
... |
yn |
|
|||||
|
y1 |
y2 |
... |
yn |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
y(n 1) |
y(n 1) |
... |
y(n 1) |
|
|
1 |
2 |
|
n |
6
Теорема 1. (необходимые условия линейной зависимости функций)
Если функции y1, y2,…, yn линейно зависимые и
имеют производные до (n-1)-го порядка, то их определитель Вронского тождественно равен нулю.
Теорема 2. Если n решений y1, y2,…, yn ЛОДУ высшего
порядка (3) линейно независимы на (a, b), то их определитель Вронского не может обращаться в ноль ни в одной точке интервала (a, b).
Следствие. Определитель Вронского системы функций y1, y2,…, yn , являющихся решениями ЛОДУ в. п. (3), либо
тождественно равен нулю, если система решений линейно зависима, либо не обращаться в ноль ни в одной точке, если система решений линейно независима.
7
Структура общего решения ЛОДУ
Определение. Система n линейно независимых решений ЛОДУ n – го порядка называется его фундаментальной системой. (Ф.С.Р.)
Теорема 3. (О структуре общего решения ЛОДУ )
Если функции y1 (x), y2 (x),…, y n (x) , x (a, b) – образуют
фундаментальную систему решений ЛОДУ (3) на
интервале (a,b), то , |
|
y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) +…+cn yn (x) |
(5) |
где ci – const, является общим решением этого уравнения.
8
ЛОДУ с постоянными коэффициентами
Определение. Линейными однородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называют уравнения вида
y(n) + p1 y(n-1) + …+ pn-1 y' + pn y = 0 , |
(6) |
где коэффициенты p1 , p2 ,…, pn-1 , pn – const. |
|
Частные решения будем искать в виде: y = ekx |
(7) |
Определение. Уравнение |
|
kn + p1 k n-1 + …+ pn-1 k + pn = 0 |
(8) |
называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами, а многочлен
kn + p1 k n-1 + …+ pn-1 k + pn –
характеристическим многочленом.
9
y(n) + p1 y(n-1) + …+ pn-1 y' + pn y = 0 , |
(6) |
Решения уравнения (6) будем искать в виде y = ekx , где k – некоторая постоянная.
Имеем:
y = k ek x , |
y = k2 |
ekx , y |
= k3 ekx , … , |
|
y(n) = kn ekx . |
|
|
Подставляем y , y , y |
, … , y(n) |
в уравнение (6) и |
|
получаем: |
|
|
|
kn ek x + p1 kn – 1 ek x + … + pn – 1 k ek x + pn ek x = 0
|
kn + p1 kn – 1 |
+ … + pn – 1 k + pn = 0- (8) |
характеристическое уравнение ЛОДУ с постоянными коэффициентами.10