все лекции по самочерновой / КАБАНЛекции по Линейной алгебре (2 семестр)

Аналитическая геометрия

Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, декартовых координат которые удовлетворяют уравнению F(x,y,z)=0.

Линией на плоскости наз. геом. место точек, декартовых координат, которые удовлетворяют уравнению F(x,y)=0.

Линией в пространстве называют геометрическое место точек декартовых координат которые удовлетворяют уравнению F1(x,y,z)=0, F2(x,y,z)=0 – пересечение двух плоскостей.

Параметрическое задание поверхности и линии на плоскости.

x f1 (u, v)y f 2 (u, v)z f3 (u, v)

M(x,y,z) – сканирующая точка, которая перемещается по данной поверхности.

M(f1(u,v) ;f2(u,v) ;f3(u,v))

Алгебраические поверхности и линии на плоскости первого порядка.

Определение. Некоторое геометрическое место точек в пространстве (на плоскости) определяют плоскость (прямую на плоскости) тогда и только тогда, когда декартовы координаты x, y, z текущей точки М относительно некоторой декартовой системы координат удовлетворяют

прямой в векторном виде. Тогда распишем это уравнение в

координатной форме:

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 (r, N) Ax By,C (r0 , N) Ax0 By0

Определение. Вектор N, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором данной прямой. В качестве нормального вектора может быть взят любой вектор, перпендикулярный прямой.

Данные уравнения называются уравнениями в отрезка, т.к. прямая и плоскость отсекают от координатных прямых отрезки a,b, c и a,b соответственно.

Исследование общего уравнения прямой.

1.Если в уравнении прямой присутствуют все члены, то прямая пересекает координатные оси и отсекает от них отрезки a,b.

2.Если в уравнении прямой свободный член, то прямая проходит через начало координат.

3.Если в уравнении прямой отсутствует член, содержащий x или y, то прямая проходит параллельно оси отсутствующей координаты.

4.Если в уравнении прямой отсутствует член, содержащий x или y и свободный член, то прямая является осью ox или oy.

Исследование общего уравнения плоскости.

1.Если в уравнении плоскости присутствуют все члены, то плоскость пересекает координатные оси и отсекает от них отрезки a,b,c.

2.Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

3.Если в уравнении плоскости отсутствует одна координата, то плоскость параллельна оси отсутствующей координаты.

4.Если в уравнении плоскости отсутствуют одна координаты и свободный член, то это есть плоскость проходящая через ось отсутствующей координаты

5.Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна координатной плоскости отсутствующей координаты.

6.Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты и свободный член, то это есть координатная плоскость отсутствующих координат.

Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

Пусть дана фиксированная точка М0 и вектор l. Выведем уравнения прямой на плоскости и в пространстве, проходящие через эту точку М0 параллельно вектору l.

Определение. Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на этой прямой, называется направляющим вектором прямой.

Из условия коллинеарности векторов M 0 M tl r r0 tl r r0 tl - параметрическое

уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Запишем это уравнение в координатной форме, а затеи исключим параметр t:

Мы получили каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Из канонического уравнения можно получить уравнения прямой, проходящей через 2

фиксированные точки (M1 и M2):

Выводы: Для составления уравнения прямой на плоскости необходимо знать:

1.Фиксированную точку М0(х0,у0) и нормальный вектор прямой N = (А, В), перпендикулярный данной прямой.

2.Фиксированную точку М0(х0,у0) и направляющий вектор l =(m,n), параллельный данной прямой;

3.Две фиксированные точки M1(x1,y1), M2(x2,y2)

4.Фиксированную точку М0(х0,у0) и тангенс угла наклона k tg , образованный прямой с осью ОХ;

5.значения отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.

Для составления уравнения прямой в пространстве необходимо знать:

1.Фиксированную точку М0(х0,у0,z0) и направляющий вектор l =(m,n,p), параллельный данной прямой;

2.Две фиксированных точки M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2).

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть дана фиксированная точка M 0 (r0 ) и два неколлинеарных вектора а и b. Выведем уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 параллельно векторам а и b. Векторы а и b можно параллельным переносом опустить в искомую плоскость как свободные векторы.

они компланарны, они являются линейно зависимыми и один из них выражается является линейной комбинацией

остальных: r r0 pa qb r r0 pa qb -

параметрическое уравнение плоскости в векторной форме.

Выведем уравнение плоскости, проходящей через три точки M1,M2,M3. Возьмем на плоскости текущую точку M(x,y,z) и составим три компланарных вектора M1M2, M1M, M1M3.

4. Уравнение прямой l, проходящей через точку M0 пересечения двух прямых l1 и l2.

Определение. Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через фиксированную точку M0, называется пучком прямых.

Уравнение прямой l будем искать как уравнение прямой, проходящей через фиксированную

4. Параметрическое и каноническое уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей.

Прямая линия в пространстве может быть получена в результате пересечения двух плоскостей:

Так как ранг этой системы равен 2, то система имеет бесконечное множество решений и любое частное решение определяет координаты точки M0. Найдем направляющий вектор l

прямой. l N1 ,l N2 , тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор