Уравнение прямой, проходящей через 2 фиксированные точкиM1 (x1 , y1 , z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 )
:x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
|
M (x, y, z) |
|
текущая точка прямой в |
|
трехмерном пространстве .M |
|
M2 |
|
M1 |
154
№2 b) . Составить канонические уравнения прямых, которые проходят
|
через две точки |
|
B(4;3; 1) |
|
||
|
Решение. |
x |
x1 |
|
y |
y1 |
|
Используем уравнениеx2 |
x1 |
y2 |
y1 |
||
|
|
|||||
|
Используя каноническое уравнение |
|||||
прямой и приняв в качестве первой точки точку А, получаем
z z1 z2 z1
155
№2.c) Составить канонические уравнения прямых, которые проходят через точку
|
в направлении, которое |
|
составляет с осями координат OX и |
|
OZ углы 60 градусов и 135 градусов |
|
соответственно. |
Решение.
Найдем сначала третий угол, который данное направление составляет с осью OY.
156
Направляющие косинусы указанного направления, которые являются координатами единичного вектора направления, удовлетворяют условию:
Таким образом, единичный вектор направления, который одновременно может служить и направляющим вектором прямой
157
№2с). Точка:
Направляющий вектор:
Получаем две прямые (в качестве направляющего вектора прямой возьмем удвоенный вектор):
158
№2d). Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку
перпендикулярно плоскости:
.
Решение.
В этом случае нормальный вектор плоскости
|
служит направляющим |
векторомпрямой и уравнение прямой :
159
,
Из общих уравнений прямой
получить ее каноническое и
параметрические уравнения.
Решение .
Найдем на прямой конкретную точку, для этого возьмем к примеру и найдем
остальные координаты из системы
160
№3. Фиксированная точкаM 0 ( 85 , 78 ,0)
В качестве направляющего вектора берем вектор векторного произведения нормалей плоскостей, данных в общих уравнениях прямой
Уравнение искомой прямой
161
4. Найти точку пересечения и угол между прямой
и плоскостью:
Решение.
Для нахождения точки пересечения решим систему
162
№4 . Косинус угла между прямой и плоскостью равен синусу угла между направляющим вектором прямой
и нормальным вектором плоскости
163