Математический анализ 2
Разделы:
1.Неопределенный интеграл
2.Определенный, кратный и криволинейный интеграл
3.Обыкновенные дифференциальные уравнения
4.Числовые и функциональные ряды
Лектор:
доцент каф. ВМ Имас О.Н.
Опр. 1 Функция F(x),
первообразной
Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛННЫЙ ИНТЕГРАЛ
определенная на интервале ( a, b), называется
для f ( x ), если x ( a, b) выполняется
F '(x) = f (x)
ТЕОРЕМА.1 (свойство первообразной)
Если в некотором конечном или бесконечном интервале D функция F(x)
является первообразной для функции f (x), то F(x)+С (С – const) тоже первообразная.
Обратно. Каждая первообразная. для f (x) может быть представлена в форме
F(x)+С.
Опр. 2.
Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенной на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x).
Обозначают: f (x)dx |
f(x) – подынтегральная функция; |
|
f(x)dx – подынтегральное выражение; |
|
– знак интеграла. |
Основные свойства неопределенного интеграла
1. f (x) dx f (x)
2.d f (x) dx f (x)dx
3.dF(x) F(x) C
4.f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
5.k f (x) dx k f (x) dx
6.f (ax b) dx 1a F(ax b) C
Таблица интегралов
xn 1
1. xn dx n 1 C
1(a). dx x C
1(b). dxx 2
x C
2.dxx ln | x | C
3.sin xdx cos x C
4.cos xdx sin x C
5.cosdx2 x tgx C
6.sindx2 x ctgx C
7. a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
11. |
shx dx chx C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
ln a |
|
|
12. |
chxdx shx C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7(a). ex dx ex C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 dx |
|
|
|
|
|
1 arctg |
x |
|
|
13. |
|
|
dx |
|
th x C |
||||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
2 |
|
|
|
C |
ch 2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
dx |
|
cth x C |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x C |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
8(a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh x |
|
|
|
|
|||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg x C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
tgx dx ln | cos x | C |
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
a |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
16. |
ctgxdx ln | sin x | C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9(a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x C |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
arccos x C |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
ln | tg |
|
| C |
||||
10. |
|
2 dx |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
a x |
|
C |
sin x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
10 _1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(x x2 |
a2 ) C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Методы интегрирования
1.Табличное интегрирование
2.Метод подведения под знак дифференциала (подстановки)
ТЕОРЕМА 2.
Пусть требуется f (x)dx найти где первообразная не табличная
Пусть x= (t), |
(t) – непрерывная функция с непрерывной производной, |
|
имеющая |
обратную |
функцию. |
Тогда f (x)d x f (t) (t)d t
3. Интегрирование по частям ТЕОРЕМА 3.
Пусть U(x) и V(x) две дифференцируемые функции
|
|
|
|
|
Тогда |
UdV UV VdU |
|
||
I. |
|
|
II. |
III. (циклический) |
pn (x)axdx |
ln x Pn (x)dx |
amx cos nx dx |
||
pn (x) cos xdx |
arctgx P (x)dx |
|||
|
|
|
n |
mx |
pn (x) sin xdx |
arcsin x Pn (x)dx |
a sin nx dx |
||
pn (x)exdx |
|
|
|
|
|
|
U=amx |
||
|
|
|
U dV |
|
U |
dV |
|
|
|
|
|
U=sin(nx) |
||
|
|
|
|
|