Уравнение плоскости в отрезках:
|
|
x |
|
y |
|
z |
1 |
|
Z |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
b |
c |
|
|
|
|
|
с |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Плоскость отсекает от |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
координатных осей |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
отрезки a, |
b, |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
У |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а |
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х |
119 |
№1d) . Составить уравнение плоскости,
|
которая проходит через точку |
и |
|
отсекает на координатных осях равные |
|
|
положительные отрезки. |
|
|
Решение. |
|
Для того чтобы плоскость отсекала на координатных осях равные по величине и по знаку отрезки достаточно, чтобы ее вектор нормали имел равные по знаку и величине координаты, например,
|
. Уравнение искомой плоскости будет: |
120
121
Определение . Векторl (m, n, p)
параллельный данной прямой или
лежащий на этой прямой, называется
направляющим вектором прямой.
|
Z |
|
|
|
|
М0(х0,у0,z0) l (m,n,p) |
|
|
r |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
r |
М(х,у,z) |
|
|
|
|
Х |
О |
|
У |
|
|
|
122 |
|
Дана фиксированная точкаM 0 (x0 , y0 , z0 ) |
|
|
|||||||
|
и вектор l (m, n, p) |
. Найти |
|
|
|
|
||||
|
уравнение прямой, проходящей через |
|
|
|||||||
|
эту точку параллельно данному |
|
|
|
||||||
|
вектору. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M (x, y, z) |
текущая точка |
|
|
|
|||||
|
прямой. |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x x0 |
tm |
-параметрические |
М0(х0,у0,z0) |
l (m,n,p) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
y y0 |
tn |
уравнения прямой |
r |
|
|
|
|||
|
tp |
0 |
|
|
|
|||||
|
z z0 |
в пространстве. |
|
r |
М(х,у,z) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
(t-параметр) |
|
Х |
О |
|
|
У |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
Каноническое уравнение прямой в пространстве в координатной форме:
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
Z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m |
n |
p |
|
М0(х0,у0,z0) l (m,n,p) |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
l (m, n, p) – направляющий |
r |
|
|
||||
0 |
|
|
||||||
|
|
|
М(х,у,z) |
|||||
|
вектор прямой. |
|
|
|
r |
|||
|
|
|
|
|||||
|
М(х,у,z) – текущая точка |
О |
|
У |
||||
|
|
|
|
|
Х |
|
||
с переменными координатами; |
|
|
||||||
|
M 0 (x0 , y0 , z0 ) – фиксированная точка. |
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
124 |
|
Составить каноническое и параметрическое
уравнения прямой, проходящей через точку M1 (2,0, 3) параллельно вектору
.
a (2, 3,5)
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|||
|
Каноническое и параметрическое уравнения прямой в |
|||||||||
|
пространстве имеют вид |
|
x x0 |
mt, |
||||||
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
и |
|
nt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
|
|
m |
n |
p |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
pt, |
||||
|
где a (m, n, p) -направляющий |
z z0 |
||||||||
|
|
|
||||||||
|
вектор прямой. |
|
|
|
|
|
|
|||
125
|
|
M1 (2,0, 3) |
a (2, 3,5) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Каноническое уравнение: |
2 |
|
y 0 |
|
z 3 |
|
||||||||
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
|
x |
|
|
|
||||
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
||||||||
|
|
m |
n |
|
|
|
5 |
|
|||||||
|
параметрическое уравнение : |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x x0 |
mt, |
x 2 2t, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
nt, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y y0 |
y 3t, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
pt, |
|
3 5t. |
|
|
|
|||||||
|
|
z z0 |
z |
|
|
|
|||||||||
126
№ 1.c) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку
перпендикулярно прямой l
Решение. |
|
Фиксированная точка плоскости: |
. |
Вектором нормали может служить направляющий вектор прямой:
|
. Уравнение |
|
искомой плоскости: |
127
;
2.а). Составить каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку
|
параллельно вектору |
|
|
. |
||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
||
|
Используя каноническое уравнение |
|||||||
|
прямой x x0 |
|
y y0 |
|
z |
z0 |
||
|
|
m |
n |
p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
– фиксированная точка прямой, а |
|||||||
|
– ее направляющий вектор, которым в данной |
|||||||
|
ситуации служит вектор |
|
.Получаем |
|||||
уравнение искомой прямой:
.
|
128 |
|