Раздел 4.
Аналитическая геометрия в пространстве
Определение. Поверхностью в
пространстве называется совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют одному уравнению с тремя переменными
F(x, y, z) 0
108
Некоторое геометрическое место
точек в пространстве определяют плоскость тогда и только тогда, когда декартовы координаты x,y,z текущей точки М относительно некоторой декартовой системы координат удовлетворяют алгебраическому
уравнению первого порядка
Ax By Cz D 0
109
,
|
Определение. Вектор |
N (A, B,C) |
, |
|
перпендикулярный плоскости, называется |
||
нормальным вектором данной плоскости. В качестве нормального вектора может быть взят любой вектор, перпендикулярный плоскости.
110
Уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно данному вектору
N (A, B,C)
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
|
Z |
|
N |
|
M 0 |
|
M (x, y, z) координаты |
|
|
|
|
|
|
М |
текущей точки плоскости. |
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
Х |
r |
|
У |
0 |
|
||
|
|
111
.
Общее уравнение плоскости получено из уравнения:
A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 Ax By Cz( Ax0 By0 Cz0 ) 0 D Ax0 By0 Cz0 .
Ax By Cz D 0
плоскости
- общее уравнение
N (A, B,C)
M (x, y, z) -нормальный вектор плоскости. текущая точка плоскости.
112
Вывести уравнение плоскости , проходящей через точкуM 0 ( 1,2, 2) перпендикулярно вектору .
N 2,1, 1
Решение.
Используя уравнение
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
получаем
|
2(x 1) (y 2) (z 2) 0 2x y z 2 0 |
|
Ответ: 2x y z 2 0 |
113
1.а).Составить уравнение плоскости, которая проходит : через точку параллельно двум векторам
Решение
Используем уравнение
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 |
, |
Точка дана по условию: |
а в качестве вектора нормали можно использовать векторное
произведение векторов
Решение №1а) (продолжение)
Уравнение плоскости:
115
Уравнение плоскости, проходящей |
|||||||||||||
|
через три точки |
|
|
M |
|
|
, |
, z |
|
) |
|||
|
|
M |
(x , y , z ) |
(x , y |
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
M 3 (x3 ,y3 , z3 ) |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 x1 |
|
y2 y1 |
z2 z1 |
0 |
|
|
|||||
|
|
x3 x1 |
|
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
|
|
||||
M (x, y, z) -текущая точка плоскости.
116
|
Составить уравнение плоскости , проходящей |
|||||||||||||||||
|
через три точки: |
M1 |
(1,2,1) |
, |
M 2 (5,7,3) |
, |
|
M 3 |
. |
|
||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
(6,4,5) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
||||||||
|
Применим формулу |
|
|
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
||||
|
|
x 1 |
y 2 |
z 1 |
|
|
|
|
|
x 1 |
y 2 |
z 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 1 |
7 2 |
3 1 |
|
0 |
|
4 |
|
5 |
2 |
0 |
|
|
||||
|
|
6 1 |
4 2 |
5 1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
-общее уравнение |
||||||||
|
плоскости. |
16x |
6y 2z 13 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16x 6y 2z 13 0
117
,
№1б). Составить уравнение плоскости,
которая проходит через три точки |
M (5, 1, 3) |
Решение
В качестве фиксированной точки берем любую
из трех, например |
, |
а в качестве вектора нормали результат |
|
векторного умножения |
|
Искомое уравнение плоскости: