Математический анализ Раздел: Определенный интеграл
Тема: Замена переменной, интегрирование по
частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
2. Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 3 (о замене переменной в определенном интеграле).
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] (или [b;a]) и функция x = (t) удовлетворяет условиям
1)(t) непрерывно дифференцируема на отрезке с концами
и ;
2) ( ) = a , ( ) = b |
и значения (t) при изменении t от |
|||
до не выходят за пределы отрезка с границами a и b. |
||||
Тогда |
функция f( (t)) (t) интегрируема на |
[ ; ] (или |
||
[ ; ]) |
и справедлива формула |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
f (x)dx f ( (t)) (t)dt |
(3) |
||
|
a |
|
|
|
Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
1
ПРИМЕР. Вычислить интеграл 
1 x2 dx .
0
Замечание. Замена переменной в определенном интеграле чаще |
|||
производится по формуле (3), прочитанной справа налево: |
|||
b |
|
|
|
f ( (x)) (x)dx f (t)dt , |
|
||
a |
|
|
|
где t = (x) , = (a) , = (b) 1. |
|
||
|
|
exdx |
|
ПРИМЕР. Вычислить интеграл |
4e2x 12ex |
34 |
|
|
0 |
|
|
3. Формула интегрирование по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 4.
Пусть функции u(x) и v(x)
на [a;b] . Тогда существуют
b
udv
a
непрерывно дифференцируемы интегралы
b
и vdu
a
и справедливо равенство |
b |
|
||
b |
|
|||
udv uv |
|
ba |
vdu. |
(4) |
|
||||
|
|
|||
a |
a |
|
||
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
§3. Приложения определенных интегралов
1. Площадь плоской области
I)Плоская область в декартовой системе координат
ВДСК основная область, площадь которой находят с по- мощью определенного интеграла – криволинейная трапеция.
Возможны 3 случая ее расположения на плоскости:
a) |
|
|
y |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
S f (x)dx; |
|||
1) |
|
|
y f (x) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x x(t), |
2) |
|
|
если y = f(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y(t), |
|
|
|
то a |
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
b |
S y(t) x (t)dt , |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x( ) = a, |
x( ) = b . |
|
|
|||||
б) |
y |
y f (x) |
|
|
b |
|
|
1) |
S f (x)dx, |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
x x(t), |
||
|
b |
2) |
если |
y = f(x): |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y y(t), |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y f (x) |
|
то |
S y(t) x (t)dt , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
где x( ) = a, x( ) = b . |
|||
y |
y f (x) |
|
|
y f (x) |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
S = S1 + S2 + S3 + S4 |
|
|
S f (x) dx , |
|||
|
|
|
|
a |
|||
Кроме того, в ДСК с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, правильной в направлении оси Oy .
Правильной в направлении оси Oy является область (σ), ограниченная линиями
x = a , x = b , y = f1(x) , y = f2(x) , где a < b и f1(x) f2(x) , x [a;b] .
Замечание. Прямые x = a и x = b могут вырождаться в точки. Возможны 3 случая расположения области (σ) на плоскости:
а) |
|
y y f2 (x) |
|
C |
|
|
б) |
|
y |
|
y f2 |
(x) |
C в) |
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
x |
|
a |
|
|
b x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
b |
|
B |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
|
y f (x) |
|
x |
|
|
|
A |
y f (x) D |
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
y f (x) |
|
D |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Во всех трех случаях справедлива формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x) |
1 |
(x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
f |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a
II)Плоская область в полярной системе координат
ВПСК основная область, площадь которой находят с по- мощью определенного интеграла – криволинейный сектор. Криволинейным сектором называется область, ограничен- ная двумя лучами = , = и кривой r = f( ) .
|
|
|
r f ( ) |
O |
|
|
x |
Его площадь находится по формуле: S 12 f ( ) 2 d .
2. Длина плоской кривой
I) Плоская кривая в декартовой системе координат
Пусть y = f(x) – непрерывно дифференцируема на [a;b] . ЗАДАЧА: найти длину ℓ кривой y = f(x) , где x [a;b].
РЕШЕНИЕ
Разобьем [a;b] на n частей точками
x0 = a , x1 , x2 , … , xn = b (где x0 < x1 < x2 < … < xn )
(ℓ) разобьется на части (ℓ1),(ℓ2),…,(ℓn) точками M0, M1,…, Mn
ℓ = ∑ ℓi , где ℓi – длина y(ℓi)
M1 M |
|
|
|
2 |
M n |
|
|
M0 |
|
||
|
|
||
x0 |
xn |
x |
|
a x1 x2 |
b |
||
|
Рассмотрим дугу (ℓi). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если (ℓi) мала, то |
i |
|
M i 1Mi |
|
|
( xi )2 |
( yi )2 |
|
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
где xi = xi – xi–1 , |
yi = f (xi) – |
f (xi–1) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
По теореме Лагранжа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
yi = f (xi) – f (xi–1) = f ( i) xi , |
|
|
|
|
||||||||||||||||
где i – точка между xi–1 и xi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
[ x ]2 |
|
[ f ( |
) x ]2 |
1 [ f ( |
)]2 |
x |
|||||||||||||||
|
i |
i |
|
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 [ f |
|
|
( i )]2 xi |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 [ f ( )]2 |
|
|
x , |
max t . |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
1 i n |
i |
|||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
1 (y )2 dx.
a