4) (C u) C u , где С – константа.
Говорят: «константа выносится за знак производной». 5) Производная дроби находится по правилу:
u |
|
u v u v |
v(x) 0 . |
|
|
v2 |
|
v |
|
|
6) Если функция (t) имеет производную в точке t, а функция f(u) имеет производную в точке u = (t), то сложная функция y = f( (t)) имеет производную в точке t, причем
y f (u) u
(правило дифференцирования сложной функции).
7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции). |
|
|||
Пусть функция y = f(x) |
имеет производную в точке |
x0, причем |
||
f (x0) 0. Если существует обратная функция |
x = (y), то |
|||
она имеет производную в точке y0 = f(x0) и |
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( y0 ) |
f (x0 ) |
|
||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно |
|
|||
УПРАЖНЕНИЯ.
1)Зная, что (sinx) = cosx, формулы 1
(tg x) cos2 x ,
(sh x) ch x, (th x) ch12 x ,
(cosx) = –sinx, |
|
(ex) = ex, получить |
||
(ctg x) |
1 |
|
, |
|
sin2 x |
||||
(ch x) sh x, |
|
|
||
(cth x) |
1 |
. |
||
|
sh2 x |
|||
|
|
|
|
|
2) Используя теорему |
о производной |
|
обратной функции, |
|||||||||||||||||
доказать, что |
1 |
|
|
|
|
|
(arccos x) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
(arcsin x) |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x ( 1; 1); |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|||||||||
(arctg x) |
|
1 |
|
|
|
, |
(arcctg x) |
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
x. |
||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (так называемая «таблица производных», см. на сайте).
Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференци- рования.