Эйлерова
характеристика
Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — характеристика топологического пространства. Эйлерова характеристика пространства X обычно обозначается
Определения
Для конечного клеточного комплекса (в частности для конечного
симплициального комплекса) эйлерова характеристика может быть определена как знакопеременная сумма X = 0k - 1k +2k - …,
где ki - обозначает число клеток размерности i.
Эйлерова характеристика произвольного топологического пространства может быть
определена через числа Бетти b как |
|
знакопеременная сумма: |
n |
|
|
|
X = b - b + b - b + … |
|||
|
Это определение имеет смысл только если |
|||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
все числа Бетти конечны и обнуляются для |
|||
всех достаточно больших индексов.
Последнее определение обобщает предыдущее и обобщается на другие гомологии с произвольными коэффициентами.
Свойства
Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом; то есть сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств.
В частности, эйлерова характеристика есть топологический инвариант.
ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА
ПОЛИЭДРОВ
Эйлерова характеристика двумерных топологических полиэдров может быть посчитана по формуле:
• X = Г – Р + В, где Г,Р,В – суть числа граней, рёбер и вершин соответственно. В частности, для выпуклого
многогранника верна формула Эйлера:
• Г – Р + В = 2X(S ) = 2
•Например, Эйлерова характеристика для куба равна 6 − 12 + 8 = 2, а для треугольной пирамиды 4 − 6 + 4 = 2.
Теорема Гаусса - Бонне
Для компактного двумерного ориентированного риманова многообразия (поверхности) S без границы существует формула Гаусса
— Бонне, связывающая эйлерову характеристику X(S) с гауссовой кривизной K многообразия:
|
|
|
K d |
= 2 |
X(S), где d - элемент |
Sплощади поверхности S.
Ориентированные и
неориентированные
поверхности
•Эйлерова характеристика для ориентированной сферы с ручками выражается формулой:
•X(X) = 2 – 2g, где g – число ручек. Для неориентированной поверхности формула выглядит так:
X(X) = 2 – g.
Величина Эйлеровой
характеристики
Название |
Вид |
Эйлерова |
характеристика |
|
|
Отрезок |
|
1 |
Окружность |
|
|
0 |
|
|
Круг |
1 |
Сфера |
2 |
Проективная поверхность |
1 |
|
В 1752 году Эйлер опубликовал формулу, связывающую между собой количество граней трёхмерного многогранника. В оригинальной работе формула приводится в виде
где S — количество вершин, H — количество граней, A — количество рёбер.
Ранее эта формула встречается в рукописях Р. Декарта, опубликованных в XVIII в.
В 1899 году Пуанкаре обобщил эту формулу мерного многогранника:
где — - количество i-мерных граней N- мерного