Поверхности второго порядка.
В аналитической геометрии поверхностью называ- ют все точки пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z)
– многочлен степени n.
Степень многочлена n называют порядком поверх- ности.
Поверхности второго порядка – это все точки пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y , z) = 0, где F(x, y , z) – многочлен второй степени.
A x2 |
A y2 |
A z2 |
A xy A xz A yz |
||
11 |
22 |
33 |
12 |
13 |
23 |
|
A10x A20 y A30z A00 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
24 |
Поверхности второго порядка.
вырожденные
1.пустое множество
2.точка
3.плоскость
4.пара параллельных или пересекающихся плоскостей
невырожденные
1.эллипсоид
2.однополостный гиперболоид
3.двухполостный гиперболоид
4.эллиптический параболоид
5.гиперболический параболоид
6.эллиптический конус
7.эллиптический цилиндр
8.гиперболический цилиндр
9.параболический цилиндр
25
A11x2 A22 y2 A33z2 A12xy A13xz A23 yz
A10x A20 y A30z A00 0
Можно показать, что при выборе определённым образом системы координат, любая невырожденная поверхность второго порядка задаётся уравнением одного из девяти видов, называемым каноническим.
Исследуем каждую из невырожденных поверхностей второго порядка методом параллельных сечений, то есть рассмотрим линии пересечения данной поверх- ности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
26
1. Эллипсоид |
|
|
x2 |
|
y |
2 |
|
z2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
a2 |
b |
2 |
c2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проведём сечения параллельно плоскости xOy: |
z z0 |
|||||||||||
|
x2 |
y2 |
|
z02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 b2 1 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
z |
|
||
Параллельно yOz: |
|
|
|
|
|
|
c |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y2 |
z2 |
1 |
x02 |
|
|
b |
|
|
|
a |
b |
|
b2 |
c2 |
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Параллельно xOz: |
|
|
|
|
|
|
a |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2 |
z2 |
1 |
y02 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
a2 |
c2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
27 |
2. Однополостный гиперболоид |
|
z |
||||||||
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
1 |
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Параллельно xOy: |
|
|
|
|
||||||
x2 |
|
y2 |
1 |
z 2 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
||
Параллельно yOz: |
|
|
|
b |
||||||
|
|
a |
y |
|||||||
y2 |
|
z2 |
1 |
x 2 |
|
|
|
|
||
b2 |
c2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a2 |
|
|
x |
|
|
||
Параллельно xOz: |
|
|
|
|
||||||
x2 |
|
z2 |
1 |
y02 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
c2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
28 |
3. Двуполостный гиперболоид
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
z |
|
|
|
1 |
||||
a2 |
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
Параллельно xOy: |
|
c |
||||||
|
2 |
y |
2 |
|
2 |
|
||
x |
|
|
1 z0 |
|
|
|||
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
|
||
Параллельно yOz: |
|
y |
||||||
y2 |
|
z2 |
1 |
x 2 |
|
|
||
b2 |
c2 |
0 |
|
c |
||||
|
|
a2 |
x |
|||||
Параллельно xOz: |
|
|
||||||
x2 |
|
z2 |
1 |
y02 |
|
|
||
a2 |
|
c2 |
|
b2 |
|
29 |
||
4. Эллиптический параболоид
|
|
x2 |
|
y2 |
2 pz |
p 0 |
||
|
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
z |
||||
Параллельно xOy: |
||||||||
|
||||||||
x2 |
|
y2 |
2 pz |
|
||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Параллельно yOz: |
|
|||||||
y2 |
2 pz |
|
x 2 |
|
||||
b2 |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
a2 |
y |
|||
Параллельно xOz: |
||||||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 2 pz |
|
y02 |
x |
|||||
a |
|
|
|
|
b |
30 |
||
5. Гиперболический параболоид
Параллельно xOy: |
x2 |
|
y2 |
|
2 pz0 |
|||||
a2 |
b2 |
|||||||||
Параллельно yOz: |
|
|
||||||||
|
y2 |
|
x 2 |
|
|
z |
|
|||
|
|
2 pz |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
a2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
y2 |
|
p 0 |
|
a2 |
|
b2 2 pz |
|||
|
|||||
Параллельно xOz:
y |
x2 |
2 pz |
y02 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
x
31
6. Эллиптический конус |
z |
||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
z2 |
0 |
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Параллельно xOy: |
|
||||||
x2 |
|
y2 |
|
z |
2 |
|
|
a2 |
b2 |
0 |
|
|
|||
|
|
c2 |
|
|
|||
Параллельно yOz: |
y |
||||
y2 |
|
z2 |
|
x 2 |
|
b2 |
c2 |
0 |
x |
||
|
|
a2 |
|||
Параллельно xOz: |
|
||||
x2 |
|
z2 |
|
y02 |
|
a2 |
|
c2 |
|
b2 |
32 |
7. Эллиптический цилиндр
x2 |
|
y2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
Параллельно xOy:
x2 |
|
y2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
Параллельно yOz:
y2 1 x02
b2 a2
Параллельно xOz:
x2 1 y02
a2 b2
z
y
x
33