Исследование формы гиперболы
x2 |
|
y2 |
1 |
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
1.Ox и Oy – оси симметрии,
начало координат – точка симметрии
2. Найдём точки пересечения с осями координат. |
||||||
x 0 |
|
y2 |
1 |
точек пересечения с осью Oy нет |
||
b2 |
||||||
y 0 |
|
|
x2 |
1 |
x a (–a, 0) и (a, 0) – точки |
|
|
a2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
пересечения с осью Ox |
Точки A1 (–a, 0) и A2 (a, 0) называются вершинами |
||||||
гиперболы. |
|
|
||||
Пусть |
B1(0, b) |
и B2 (0, b). |
||||
13
B2
F1 A1 |
A2 F2 |
B1
Отрезки A1A2 и B1B2 , а также их длины 2a и 2b на- зывают соответственно действительной и мнимой осями гиперболы.
Числа a и b называют соответственно действительной
и мнимой полуосями гиперболы.
Прямоугольник, образованный прямыми x=± a и y=± b
называют основным прямоугольником гиперболы. 14
3. |
x2 |
y2 |
|
y2 |
x2 |
|
x2 |
x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
||
a2 |
|
b2 |
b2 |
a2 |
a2 |
a2 |
||||||||||
|
|
x |
|
a, то есть гипербола лежит вне полосы, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
образованной прямыми x= ± a. |
|
|
|||||||
В силу симметричности относительно оси Oy, гипер- бола состоит из двух частей, называемых ветвями гиперболы.
4.Средствами математического анализа можно исследовать на возрастание и убывание, на выпуклость и вогнутость.
Если |x| увеличивается, то |y| – увеличивается.
5. Можно показать, что прямые |
y ab x являются |
асимптотами гиперболы |
15 |
B2
F1 A1 |
A2 F2 |
B1
1) |
|
x2 |
|
y2 |
|
1 – гипербола, но фокусы лежат на оси Oy, |
|||
a2 |
b2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ветви направлены вверх и вниз. |
||||||||
2) |
(x x )2 |
|
( y y |
0 |
)2 |
||||
|
|
0 |
|
|
1 – гипербола с центром, |
||||
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
смещённым в точку (x0, y0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки и фиксированной прямой.
Обозначим фиксированную точку F, эта точку назы- вают фокусом параболы. Фиксированную прямую на- зывают директриссой параболы.
Обозначим расстояние от фокуса до директриссы через p.
N2 |
M1 |
M2 |
NM1 |
FM1 |
N1 |
|
|||
|
|
|
|
|
NM2 |
FM2 |
p |
F |
|
17
Получим уравнение параболы.
Выберем систему координат так, чтобы начало коорди- нат находилось посередине между фокусом и директ- риссой, а ось Oy была параллельна директриссе.
N |
M |
Тогда фокус имеет координаты: |
p x |
|
F( p / 2, 0) |
2F Пусть М(x,y) – произвольная точка
|
p |
|
|
p |
|
|
|
параболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
p |
)2 |
y2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
FM |
{x |
|
, y} |
|
|
F1M |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
NM |
|
|
2 |
|
x |
|
(x |
|
) |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
18
|
|
|
p 2 |
|
2 |
|
p 2 |
|
|
2 |
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
px y |
|
px |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
y2 2 px – каноническое уравнение параболы |
p 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Исследование формы параболы |
|
||||||||
1. Ox – ось симметрии, точек симметрии нет |
|
|||||||||||||||
2. (0,0) – точка пересечения с осями координат, |
|
|||||||||||||||
|
эта точка называется вершиной параболы. |
|
||||||||||||||
3. |
x |
|
|
|
y2 |
, но |
p 0 |
|
x 0, то есть парабола распо- |
|||||||
|
2 p |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ложена справа от оси Oy. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.Можно исследовать на возрастание и убывание, на выпуклость и вогнутость.
Если x увеличивается, то |y| – увеличивается. |
19 |
y
F
x2 2 py
парабола, ветвь вниз
F |
1) y2 2 px
парабола, ветвь влево
F
x 
x2 2 py
парабола, ветвь вверх
F |
2) ( y y0 )2 2 p(x x0 )
вершина параболы смещена в точку (x0, y0)20
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
Можно показать, что при повороте координатных осей на определённый угол слагаемое Bxy отсутствует
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
1. A и C одного знака. Пусть A > 0 и C > 0.
Если A и C одного знака, то говорят, что кривая второго порядка имеет эллиптический тип.
Кривая эллиптического типа может являться эл- липсом, точкой или пустым множеством.
При этом также говорят, что эллипс может вырож-
даться в точку или пустое множество. |
21 |
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
2. A и C разного знака. Пусть A > 0 и C < 0.
Если A и C разного знака, то говорят, что кривая второго порядка имеет гиперболический тип.
Кривая гиперболического типа может являться гиперболой или парой пересекающихся прямых.
При этом также говорят, что гипербола может вы- рождаться в пару пересекающихся прямых.
22
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0
3. Один из коэффициентов A или C равен нулю.
Если один из коэффициентов A или C равен нулю, то говорят, что кривая второго порядка имеет
параболический тип.
Кривая параболического типа может являться параболой, парой параллельных прямых, одной прямой или пустым множеством.
При этом также говорят, что парабола может вы- рождаться в пару параллельных прямых, в одну прямую или в пустое множество.
23