4. Координаты вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе.
Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют декартову систему координат, базисом в которой является единичные, попарно ортогональные вектора.
Говорят, что три некомпланарных вектора |
образуют |
|
правую тройку, если с конца третьего вектора |
кратчай-ший |
|
поворот от первого вектора |
ко второму вектору виден |
|
совершающимся против часовой стрелки, и левую тройку, если по часовой.
Векторы, образующие правую декартову прямоугольную систему координат, обозначают i, j, k.
Оси координат в этой системе координат называют соответственно осью OX (абсцисс), OY (ординат), OZ (аппликат)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью.
Проекцией точки А на прямую (плоскость) называется основание перпендикуляра, опущенного из точки А на эту прямую.
ВекторABназомвектрнйпрокцийвектора
1
ось.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Проекцией(ортгональнойпроекци
вектораAнаосьBназываетсядлинаеговекторн
проекциABнаэтуось,взятаясознакомплюс,е
11
векторA иосьсонаправлены,исознакомину
1
есливекторABиосьпротивопложнонаправлен
11
Обозначают: ПрAB, ПрAB.
ТЕОРЕМА 6. Координаты вектора ā V(2) (V(3)) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.
Свойства проекций
1.
2.
3.
Прl AB AB cosφ
Т Е О Р Е |
М |
А |
7 . |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ) |
Е с л и |
|
в е к т о р |
и м е е т |
в б а з и с е |
e 1 , e 2 , e 3 к о о р д и н а т ы |
||||||||
|
{ 1 , 2 |
, 3 } , в е к т о р |
|
|
и м е е т |
в т о м |
ж е б а з и с е к о о р д и н а - |
|||||||
|
|
b |
||||||||||||
|
т ы |
{ 1 , 2 , 3 } , т |
о в е к т о р |
a |
|
|
б у д е т и м е т ь в б а з и с е |
|||||||
|
b |
|||||||||||||
|
e 1 , e 2 , e 3 |
к о о р д и н а т ы |
|
|
|
|
|
3 } . |
|
|||||
|
|
|
|
|
{ 1 |
1 , |
2 |
2 , 3 |
|
|||||
2) |
Если вектор |
a |
имеет в базисе |
e1,e2 ,e3 координаты |
||||||||||
|
{ 1, 2 , 3}, то для любого действительного числа |
|
||||||||||||
|
вектор |
a |
будет иметь в том же базисе координаты |
|||||||||||
{ 1, 2 , 3} .
ТЕОРЕМА8(критерийколинеарнотисвободныхвекторо вкординатнойформе).
Векторыa{; ; }иb{; ; }колинеарн |
|
1 2 3 |
1 2 3 |
тогдаитолькотогда, когдаихкординаты пропорциональны,т.е.
1 2 3 k.
1 2 3
Причем,есликоэфициентпропорциональностиk>0 товекторыaиb–сонаправлены,аеслиk<0–т противоположнонаправлены
ТЕОРЕМА |
9 (связь координат вектора в разных базисах). |
||||||||||||||
Пусть |
e1 , e2 , e3 и |
|
|
|
|
|
|
||||||||
f1 , |
f |
2 , |
f |
3 два базиса во множестве |
|||||||||||
V (3) . Причем имеют место равенства: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11e1 |
21e2 |
31e3 , |
|||||
|
f1 |
||||||||||||||
|
|
f |
2 |
12e1 |
22e2 |
32 e3 , |
|||||||||
|
|
|
3 |
13e1 |
23e2 |
33e3 . |
|||||||||
|
f |
||||||||||||||
Если вектор a |
имеет в базисе |
e1,e2,e3 координаты |
||||||||||||||||||||||||||
{ 1, 2, 3}, а вбазисе |
|
1, |
|
2, |
|
3 –координаты |
{ 1, 2, 3}, |
|||||||||||||||||||||
f |
f |
f |
||||||||||||||||||||||||||
то справедливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A TB, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
11 12 |
13 |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||
A |
|
|
, B |
|
T |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
21 22 |
23 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
31 32 |
33 |
||||||||
(матрицуTназываютматрицейпереходаотбази |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eкбазиуf,f,f). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
e, |
e, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
123 |
|
123 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
§2. Простейшие задачи векторной алгебры
Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем во множестве V(3) (V(2)) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j).
ЗДЧА1.НайтикординатывектораA,елизве декартовыкординатынчлаиконцавектора.
y |
B |
A |
|
O |
x |
ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе.
y
B
|
A |
|
ay |
|
ax |
C |
|
|
|
||
O |
|
x |
|
|
|
ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта.
ОПРДЛЕНИЕ.Ортомвектораaназывае тсявекор
сонаправленыйсвектромaимеющийеднич длину.
Геометрический смысл координат орта вектора
cos, , называютянправляющмикосну
вектораa. a a
|
|
|
1 |
|
x |
B A
1 1
Кординаыоравектораaявлютсяегонправля
коинусами.
Замечание. Так как a0 1 и a0 cos ; cos ; cos , то cos2 cos2 cos2 1.
Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора.
ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка |
M |
делитотрезок |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
MM в отношении ( 1) если |
|
|
|
. |
|||
MM |
MM |
||||||
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
2 |
||
Если λ > 0 , то точка M0 лежит между точками M1 и M2. В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во внутреннем отношении.
Если λ < 0 , то точка M0 лежит на продолжении отрезка M1 M2. В этом случае говорят, что точка M0 делит отрезок M1M2 во внешнем отношении.
M
1
r |
M |
|
1r |
0 |
M |
0 |
r |
|
O |
2 |
2 |
|
|