ТОЭ лабы / ENIN_IsaevKolchanovaHohlovaVasil'eva

Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить

интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рис. 2.10 приведено изо-

бражение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движении волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются, следовательно, токи и напряжения можно заменять на комплексные величины – вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения.

Векторная диаграмма напряжений Осциллограмма напряжений

Рис. 2.10. а – векторная диаграмма напряжений,

б– волновая диаграмма напряжений

Вдействительности все вектора вращаются с частотой . Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме:

51

UR (t) i(t)R Ime j R IR.

Здесь X L L, XC 1 C индуктивное и емкостное сопротивления со-

ответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления:

Рис. 2.11

Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктивным сопротивлением jX L означает, что напряжение на индуктив-

ности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.

Рис. 2.12

52

Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением jXC означает, что напряжение

на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.

Рис. 2.13

Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным сопротивлением:

R Zcos( ), X Zsin( ).

В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным со-

противлением и комплексной про-

водимостью, в алгебраической и показательной формах:

Рис. 2.15

53

Пример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными парамет-

рами:

e(t) 10 sin( t 45 ) В, 500рад/с, R 20 Ом, L 0,1 Гн, C 50мФ.

Определяем индуктивное и емкостное сопротивления: X L L 30 Ом – индуктивное сопротивление,

XC 1 66,66 Ом – емкостное сопротивление.

C

Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура представленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно величине воздействующей ЭДС.

Рис. 2.16

В соответствии с символическим методом можно сделать замену:

UR (t) i(t)R U RI

Подставим все величины в уравнение для напряжений, и в результате получим:

54

Коэффициенты пропорциональности при токах имеют размерность сопротивления и обозначаются следующим образом:

Рис. 2.17

Теперь можно записать мгновенное значение тока:

i(t) 0,239 sin( t 106,38)А.

§2.3. Векторные диаграммы – фазовые соотношения между величинами

Поскольку каждой синусоидальной величине сопоставляется комплексный вектор, то в результате проведённых расчетов можно увидеть фазовые соотношения между величинами в комплексной плоскости. Приведем пример расчетов токов и построение векторной диаграммы. Прежде всего, строится лучевая диаграмма токов, в выбранном масштабе. Затем строится топографическая диаграмма напряжений. Вектор напряжения активного сопротивления откладывается параллельно току активного сопротивления. Вектор напряжения индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов. Вектор напряжения емкости откладывается с отставанием на 90 градусов от емкостного тока. Положительное значение угла откладывается против часовой стрел-

55

Рис. 2.18

§2.4. Показания приборов

Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы не успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают не амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое

среднеквадратическим значением или действующим значением, ко-

торое определяется соотношением:

С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например:

57

e(t) 10sin( t 30 ) E Em2 e j30 7,07e j30B, i(t) 2sin( t 60 ) I Im2 e j60 1,41e j60A.

Рассмотрим пример использования символического метода для решения задач.

§2.5. Мощность в цепи переменного тока

ется, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и

P – активная мощность величина положительная. Q – реактивная мощность может быть как положительной так и отрицательной величи-

58

Лекция № 6

§2.6. Цепи с индуктивно связанными элементами Последовательное соединение катушек с индуктивной связью

ся, а в другом они вычитаются. Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последовательного контура, учитывая не идеальность катушек.

При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной

В символической форме это можно записать так.

R1 jX L1 jX M I R2 jX L2 jX M I E;

R1 R2 j X L1 X L2 2X M I E.

При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны.

R1 jX L1 jX M I R2 jX L2 jX M I E;

R1 R2 j X L1 X L2 2X M I E.

При встречном соединении, когда токи входят в катушки с одной

стороны. Здесь X M M , X L L .

Если ввести обозначения для сопротивлений согласного Z C и встречного Z B соответственно

59

Z C R1 R2 j X L1 X L2 2X M , Z B R1 R2 j X L1 X L2 2X M ,

то можно найти взаимную индукцию

Как экспериментально определить какой тип соединения в цепи, согласное и встречное соединение индуктивностей? Ответ – через токи при фиксированном входном напряжении в цепи. При согласном соединении сопротивление больше Z C – ток меньше. При встречном соеди-

нении сопротивление больше Z B – ток больше.

§2.7. Построение диаграммы при встречном и согласном включениях индуктивностей с магнитной связью

взаимной индуктивности UM , опережающее ток на 90 градусов.

60