ТОЭ лабы / ENIN_IsaevKolchanovaHohlovaVasil'eva

ное сопротивление. Например, для рис. 1.8, б приведен граф схемы, представленной на рис. 1.8, а, на котором видно восемь ветвей и четыре узла. Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел – это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будет базовым узлом. Тогда сформируем узловую мат-

Составим теперь матрицу контуров B по следующему правилу: если ветвь не входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур, то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направлением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой на рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид:

Если узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их произведения должны равняться нулевой матрице:

11

тока.

Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диагональных элементов, элементами которой являются величины сопротивлений ветвей. То есть первый диагональный элемент – это результирующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент – это результирующее сопротивление второй ветви и так далее.

Диагональная матрица проводимостей – матрица обратная диагональной матрице сопротивлений diag(g) diag(R) 1 .

Топологическая матрица ЭДС – это столбцевая матрица, количество элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу: если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС совпадает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным знаком, в противном случае ставим ЭДС с отрицательным знаком.

Топологическая матрица источников тока является столбцевой матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формируются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно i той ветви с током Ii и направление источника тока совпадает с на-

правлением тока Ii , то в этом случае ставим величину источника тока с

положительным знаком. Если направление источника тока не совпадает с направлением тока в ветви Ii , то ставим величину источника тока с

отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических матриц для схемы, приведенной на рис. 1.8.

12

Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контурными токами:

14

§ 1.5 Баланс мощностей

При составлении СЛАУ по первому и второму законам Кирхгофа можно допустить ошибку, например, пропустить в нужном месте знак минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для проверки числовых значений токов составляют баланс мощностей для источников энергии – ЭДС и источников тока, и для потребителей энергии – сопротивлений. Это закон сохранения энергии – сколько энергии было выделено источниками энергии – столько же должно быть потреблено потребителями. Определим мощность источников и мощность приёмников для нашей схемы.

Мощность источников энергии:

Мощность потребителей энергии:

PП I12R1 I22R2 I32R3 I42R4 I52R5 I62R6 161,899 Вт. (23)

Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно.

§ 1.6. Метод контурных токов на основе матрично-топологического подхода

Теперь решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом. Топологический метод заключается в формализации всех операций. Для этого нам понадобятся топологическая контурная матрица и диагональная матрица сопротивлений:

Матрицу сопротивлений для контуров можно переписать в виде матричного произведения трех топологических матриц:

15

используя топологические матрицы. Последовательность действий такова:

Записываем произведение матриц:

16

§ 1.7. Метод узловых потенциалов