Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1315 вузов, 5362 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
Теоретические основы электротехники
Файл:

ТОЭ лабы / ENIN_IsaevKolchanovaHohlovaVasil'eva

.pdf
Скачиваний:
63
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.02 Mб
Скачать
☆

Схемы цепей II-го порядка

161

Лекция № 12

ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Электрическими линиями с распределенными параметрами называются такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от

одной точки (сечения) линии к другой соседней точке.

Эффект непрерывного изменения тока и напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями.

Рис. 5.1

На рис. 5.1 изображен участок линии с распределенными параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент длины линии.

Врезультате утечки через поперечные сопротивления токи на соседних участках линии неодинаковы. Вследствие этого и падение напряжения на соседних поперечных сопротивлениях разделенных участком dx тоже отличаются.

Вэлектрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованны активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx . Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины, и если равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины.

162

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопротивления неодинаковы.

Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач электрической энергии на большие расстояния, с телефонными телеграфными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками.

Пусть r0 – продольное активное сопротивление единицы длины

линии;

L0 – индуктивность единицы длинны линии; C0 – емкость единицы длины линии; g0 –поперечная проводимость единицы длины линии (она не является обратной величиной продольного сопротивления r0 );

Разобьем линию на участки длиной dx (см. рис. 5.2), x – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление рано r0dx , индуктивность – L0dx , проводимость утечки – g0dx и

емкость –C0dx .

Рис. 5.2

И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии x и времени t .

Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для него второй закон Кирхгофа – сумма падений напряжения для замкнутого контура равняется нулю:

u r0dx i L0dx ti u ux dx 0.

Сократив на u и поделив на dx получаем выражение:

163

 

u

r i L

i .

 

x

0

0 t

Запишем первый закон Кирхгофа для выделенного узла –1:

 

i di i

i

dx

 

x

 

 

 

 

Ток di равен сумме токов, проходящих через проводимость g0dx кость C0dx :

di

u

u dx

g

dx

 

C dx

u

u dx

.

 

 

 

x

 

0

 

t

0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим di u g0dx C0dx ut

Подставляя (2) в (1) и поделив на dx , после упрощения получаем

 

i

g0 u C0

u .

x

 

 

t

(1)

ием-

(2)

Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в математической физике называются

телеграфными уравнениями:

 

u

r i L i

 

 

x

0

0 t

(2а)

 

i

 

 

u

 

g0 u C0

 

 

x

t

 

 

 

 

 

Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим ме-

тодом

 

 

 

 

 

Введем изображения токов и напряжений

 

i(x,t) I (x)e j t ,

u(x,t) U (x)e j t .

(3)

Здесь – I (x) и U (x) комплексные величины тока и напряжения соответ-

ственно.

Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие со-

отношения

 

u

 

 

 

dU (x)

 

 

 

e j t

;

 

 

x

 

dx

 

i

 

d

 

 

 

L

L I (x)

e j t j L I (x)e j t ;

 

 

0 t

0

 

 

dx

0

 

 

 

i

e j t

d I (x)

 

;

 

 

 

x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

164

 

 

 

 

C u

j C U (x)e j t .

 

0 t

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив все выше полученные выражения в телеграфные урав-

нения, и сократив на множитель e j t , получим

 

dU (x)

r j L I (x);

 

 

dx

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2б)

 

d I (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

g0

j C0 U (x).

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введя обозначения Z0 r0 j L0 , Y0 g0 j C0 , и опуская зависимость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравне-

ния можно переписать

dU Z0 I;

 

 

dx

 

 

 

(2в)

 

 

 

 

 

d I

Y0

U

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

и подставим в него

Продифференцируем первое уравнение по x

второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

d 2

U

Z Y U

d 2

U

2U 0, Z Y .

(2г)

 

 

dx2

0

0

 

 

dx2

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать решение в виде U Ae px . Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно p

p2 2 0 p1,2 .

Теперь решение можно записать в виде

U A1e p1x A2e p2 x A1e x A2e x .

Здесь A1, A2 комплексные константы, которые определяются с помощью граничных условий, комплексное число Z0Y0 принято назы-

вать постоянной распространения. Запишем его в алгебраической форме

j ,

где – коэффициент затухания (характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линии); – коэффициент фазы (про-

странственная частота); он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Размерность величин

1/ км.

165

Найдём ток из уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

A e x A e x

 

dU

 

 

 

 

 

 

1 dU

 

 

 

 

Z0 I

 

I

 

 

 

 

 

 

 

1

2

.

dx

Z0

 

dx

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Величину, стоящую в знаменателе

 

Z0

 

называют волновым сопро-

тивлением и обозначают Zв :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zв

 

Z0

 

Z0

 

 

 

Z0 zвe j в .

 

 

 

 

 

Z0Y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y0

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, ток можно записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A e x A e x

 

 

 

A e x

 

 

A e x

 

 

 

 

I

1

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

Z в

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения:

I (x)e j t i(x,t), U (x)e j t u(x,t) .

В результате получим

u(x,t) Am1e x sin( t x 1) Am2e x sin( t x 2 ),

 

A e x

 

 

 

A

2

e x sin( t x

 

 

 

 

i(x,t)

m1

sin( t x

в

)

m

2

 

в

).

 

 

 

 

zв

1

 

zв

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.3

Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами – длинной волны и фазовой скоростью . Скорость распространения –

и длину – волны можно определить, используя выражения:

t x const

d ( t x 1)

dx 0

 

dx ,

1

dt

dt

 

dt

 

 

 

166

 

 

 

2 .

§5.1. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии

Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии:

U A e x A e x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x .

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

A1e

I

 

 

 

 

 

 

 

A2e

 

.

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

U

1 и I1, тогда мож-

Пусть в начале линии при x 0

напряжении

 

 

но получить:

 

U

 

 

 

A1

A2 ;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

I

1

Z

в

A

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в ре-

зультате получим выражение для константы A1 :

 

 

 

A

 

U

1 I1 Z в

 

A e j п .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выражение для константы A2 :

A2 U1 2I1 Z в Ae j о .

Поставим найденные константы в выражения для напряжения:

 

 

 

U

1

I

1

Z

в e x

U

1

I

1

Z

в e x

 

 

e x

e x

e x

 

U

 

 

 

2

 

 

 

2

 

U

1

 

2

 

I1 Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напомним,

что

 

в

скобках находятся гиперболические

синус и косинус:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x .

2

функции

167

 

 

 

 

 

 

e x e x

,

 

 

 

ch( x)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

ch(x)

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

sh(x)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.4

 

 

 

 

e x e x

sh( x)

2

.

 

 

Приведём графический вид функций ch(x) , sh(x) .

Теперь выражения для напряжения и тока можно перепи-

сать в виде:

 

 

 

 

 

 

U (x)

U

1ch( x) I1 Z вsh( x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

(5)

I (x) I

ch( x)

 

1

sh( x).

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя это

выражение

можно получить связь между величинами в начале и в конце линии. Поставим x в выражения (5), здесь l длина линии:

 

U

(l)

U

2

U

1ch( ) I1 Z вsh( );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

(6)

 

I (l) I

 

 

I

 

ch( )

 

1

sh( ).

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим уравнения (6) относительно U 2 и I 2 , получим систему уравне-

ний, позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при известных значения в конце линии.

 

U

1

U

2ch( ) I 2 Z вsh( );

 

 

 

 

U

 

 

 

 

.

(7)

 

 

2

 

 

 

I1

 

 

 

 

 

 

 

sh( ) I 2ch( ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если ввести обозначения

A D ch( ), B Zвsh( ), C sh( )

Zв то

мы получаем уравнение четырехполюсника

 

 

 

 

 

 

 

U

1

AU 2 BI 2 ;

.

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CU 2 DI 2.

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:

 

AD BC ch2 ( ) sh2 ( ) 1.

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

168

 

 

 

§5.2. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии

Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии y , а длину всей линии :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x .

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

(10)

 

Пусть известны напряжения и ток в конце линии

2

и I 2 . Будем

 

использовать эти значения как граничные условии при

y 0. На осно-

вании системы уравнений (4) получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U ( y)

A e ( y) A e ( y)

 

 

 

 

 

 

U (0) U

2

A e A e

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

( y)

 

 

( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (11)

 

 

 

A1e

 

A2e

 

 

 

 

 

 

 

A1e

 

A2e

I ( y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I (0) I2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему относительно константA1 и A2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

U

2 I 2 Z в e

A e j п

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U2

A1e

 

 

A2e ;

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12)

I

Z

A e A e ,

 

 

 

 

 

 

 

U

1 I1 Z в

 

 

 

 

j о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

Ae .

 

 

 

2 в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив найденные значения постоянных A1 и A2 в систему (4)

получаем:

 

 

 

 

U

( y)

U

 

2ch( y) I 2 Z вsh( y);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

ch( y), .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(13)

 

 

 

 

 

I

( y)

 

2

 

 

sh( y) I

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.3. Линии без потерь

Строго говоря, линии без потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми r0 и g0 по

сравнению с L0 и C0 соответственно). В ряде случаев, в особенности при высоких частотах, когда L0 >> r0 и C0 >> g0 , можно пренебречь наличием потерь в линии и принять r0 0 и g0 0. В этом случае коэффициент затухания 0 , и коэффициент распространения стано-

вится чисто мнимой величиной j ,

 

L0C0 , а волновое сопро-

тивление является чисто активным:

 

 

Z в zв .

(14)

169

 

 

Для определения напряжения и тока в любой точке линии обра-

тимся к системе уравнений (13)

 

 

 

 

 

 

 

U

( y)

U

 

2ch( y) I 2 Z вsh( y);

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

,

(15)

I ( y)

 

2

 

sh( y) I

2

ch( y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и учтем, что ch( y) сh( j y) cos( y), sh( y) sh( j y) j sin( y) , и

перепишем уравнения (15):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

( y)

U

2 cos( y) jI 2 Z в sin( y);

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

(16)

I ( y)

 

j

 

2

sin( y) I

2

cos( y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя те же выражения для системы (5) можно записать уравнения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии:

 

U

( y)

U

1 cos( y) jI1 Z в sin( y);

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

(17)

I ( y) j

 

1

sin( y) I

1

cos( y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.4. Коэффициент отражения

Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают Ku . В соответствии с фор-

мулой (12) можно получить:

 

 

 

A e l

 

 

 

U

2 I 2 Z в

 

 

 

 

U

2

 

Z в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

I

2

 

н

в

 

K

u

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A e l

 

 

2

I 2 Z в

 

 

 

U

2

 

Z в

Z

н

Z

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

I 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этого выражения видно, что при Z н Z в

согласованной нагрузке мы

получаем Ku 0 ,

и следовательно

нет

отражённой волны, а при

Z н холостом ходе мы получаем

Ku 1 то есть волна полностью

отражается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

170

Соседние файлы в папке ТОЭ лабы
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности