Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

ТОЭ лабы / ENIN_IsaevKolchanovaHohlovaVasil'eva

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

		0.3
		0.2
i(t)		0.1
i(t)
A e	p t	0	0.002	0.004	0.006 0.008	0.01	0.012	0.014	0.016	0.018	0.02
A e		0.1
		0.1
		0.2
		0.3
						t
				t		i(t)
					0	-0.156
					0.001	-0.206
					0.002	-0.227
					0.003	-0.219
					0.004	-0.183
					0.005	-0.124
					0.006	-0.049
					0.007	0.036
					0.008		0.12
					0.009	0.196
					0.01001	0.255
					0.01101	0.291
					0.01201		0.3
					0.01301	0.282
					0.01401	0.237
					0.01501	0.171
						Рис. 4.36

121

§4.4. Переходные процессы в цепи второго порядка

Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рис. 4.37 с параметрами: E 50B, R 10Ом, L 0.1Гн, С 40мкФ.

Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:

Рис. 4.37

u i R E

L di R

i u E,

i C du ;

(1)

d 2u

u E.

dt2

Решение данного уравнения будем искать в виде суммы двух со-

ставляющих:

uC (t) uсв uпр A1 exp( p1t) A2 exp( p2t) E .

(2)

Первое

слагаемое

это uсв A1 exp( p1t) A2

exp( p2t) свободная

составляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от начальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не зависит от формы воздействующего напряжения.

Второе слагаемое это uпр uC ( ) принуждённая составляющая.

Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как uпр uC ( ) E .

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.

Для определения констант интегрирования используем независи-

мые начальные условия uC (0) 0,					iL (0) 0.
u			(0) 0 A A E;
	C			1 2				(3)
i	L	(0) i		(0 ) C du 0 C A p A p		2	.	(3)
	L		C	dt	1 1 2	2
				dt

Откуда следует, что

122

p2E

p1E

(4)

p2 p1

Теперь можно записать окончательное решение

uC (t)

p2E

exp( p1t)

p1E

exp( p2t) E

p2ep1t p1ep2t E.

p p

Определим корни характеристического уравнения входящие в решение uC (t) p1, p2 через входное сопротивление схемы.

CL p2 RC p 1

0 CL p2

RC p 1 0.

В результате решения уравнения получаются корни:

b D

RC RC 2 4LC

R 2

1,2

2CL

(5)

(6)

2 2 .

Где

– показатель затухания контура,

– угловая часто-

та незатухающих колебаний,

при выполнении условия 2

имеем

R 2

j св j

Здесь св

– частота свободных колебаний,

Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут принимать следующие возможные значения (рис. 4.38).

Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и кратные. Критический режим p1,2 2RL

uC (t) E 1 t e t E .

Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицатель-

ные и неравные. Апериодический режим				p		2 2	;
				1,2		0
uC (t)	E		p1 e p2t p2 e p1t		E .
uC (t)	2	2	p1 e p2t p2 e p1t		E .
2
		0

123

Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим

p j	2		2	j .
1,2		0			св
	u	(t) Ee t cos(				t)		sin(	t)	E .
	u	(t) Ee t cos(				t)		sin(	t)	E .
	C				св		св	св
							св

Рис. 4.38. Расположение корней на комплексной плоскости.

Примеры определения корней характеристического уравнения в

MathCAD


R 10		C	60 10	6	L 0.2
p	(R	L p) 2 R		1	R solve p	456.23413613605701002
	R	L p	2 R	C p		182.65475275283187886


(R		L p) 2 R			1		R
R	L p		2 R		C p

R	20		C	100		10 6
P		(R	L P) R			1
		R	L P	R		C P

5 R2 C p 3 R C p2 L 3 R L p	p	456.234
(3 R L p) C p		182.655

L 0.1
R solve P	(	275.)	156.12494995995995515i
R solve P	(	275.)	156.12494995995995515i
	(	275.)	156.12494995995995515i

P	275	156.125i	(R	L P) R	1	R	3 R2	C P 2 R C P2 L 2 R L P
	275	156.125i	R	L P R	C P			(2 R L P) C P

124

Примеры определения корней характеристического уравнения и зависимых и независимых начальных условий

Пример: Определить независимыеiL (0),UC (0) и зависимые начальные условия UL (0 ), iC (0 ) . Определить корень характеристического уравнения.

R	R	J	R	iL(0)
E		E		2R
C	R			Uc(0)
R		R	ic(+0)
		R	ic(+0)

Рис. 4.39

Рис. 4.40

Решение:

1. 1.Определяем независимые начальные условия iL (0),UC (0) .

iL (0)	1	E		E	,	UC (0) iL (0)R	E .
iL (0)	2	2R	R	5R	,	UC (0) iL (0)R	E .
	2	2R	R	5R			5
			2

2.Определяем зависимые начальные условия UL (0 ), iC (0 ) из схемы после коммутации (см. документ Маthcad).

3.Определяем корень характеристического уравнения из схемы после коммутации (см. документ Маthcad).

Документ MathCAD

ORIGIN 1

Определить напряжение на конденсаторе.

E 100 R	10 L 0.1 C 50 10	6

E		2 R (L p R)		1
Uпр 3	Z(p)		R
Uпр 3	Z(p)	3 R L p	R	C p

Корни характеристического уравнения

p Z(p)	solve	p	(	416.67)	162.45i	p	416.67	162.45i
	float	5	(	416.67)	162.45i		416.67	162.45i

125

Независимые начальные условия

E E iLo 2 R UC0 2

Зависимые начальные условия

Рис. 4.42

E UC0

iLo R

iLo

5 UC0 50

iR0

iC0 iR0

iLo

3 R

Постоянные интегрирования

UC0 Uпр

8.333

81.221i

iC0

8.333

81.221i

U(t)

2 Re A

ep1 t

Im p

162.45 U

33.333

пр

0 0.0001 0.05

U(t)

Re A1 ep1 t

Uпр

50
40
30
20
10
0	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05
10
	Рис. 4.43		t
	Рис. 4.43

126

Проверка расчётов в среде EWB

Рис. 4.44

Определить ток индуктивности.

E 100 R 60 L 0.1 C 50 10 6

127

Рис. 4.45

Рис. 4.46

iпр

1.667

Z(p)

R L p

L p

C p

Z(p1)

solve

(

233.33)

213.44i

233.33

213.44i

float 5

(

233.33)

213.44i

233.33

213.44i

iLo

UC0

iLo

0.833 UC0

2 R

iR0

UC0

iLo R

UL0

iR0 R

2 R

iLo iпр

0.417

0.716i

UL0

0.417

0.716i

i(t)

ep1 t

ep2

Re(p)

пр

3.031

0 0.01

1.6

i(t) 1.2 iпр 0.8

0.4


	0	0.0061		0.0121		0.0182		0.0242		0.0303

Рис. 4.47

128

Рис. 4.48

129

§4.5. Операторный метод расчёта переходных процессов

Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображений). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изображением) производится обратное преобразование Лапласа, получается оригинал. Полученный оригинал – это функция, которая и будет решением дифференциального уравнения.

Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа

	f (t)e ptdt ,
F( p)	f (t)e ptdt ,	(7)
0

здесь F( p) – изображение, f (t) – оригинал. Выражение (7) записывают ещё и в операторной формеF( p) L f (t) .

Приведём изображение нескольких часто встречающихся функ-

ций.
Определим изображение константы – f (t) A					(const) :
		e pt				A
		e pt				A
F( p) A e ptdt			0					.
F( p) A e ptdt		p	0			p		.
0		p				p
Найдем изображение экспоненциальной функции – f (t) e t :
	e ( p )t							1
	e ( p )t							1
F( p) e te ptdt				0					.
F( p) e te ptdt	p			0			p		.
0	p						p

Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изображения синусоидальной косинусной функций– sin( t), cos( t).

Для этого запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований:

			j t	e	j t
sin(t)	e
				2 j


cos(t)		e j t e j t

				2

1			1		1


2 j p j				p j
	1		1			1

	2				p j
	2	p j			p j

Определим изображение производной изображение F( p)

	1	p j p j									;

2 j			p	2	2	p	2		2
2 j			p			p
	1	p j p j						p		.

	2		p	2	2	p	2		2
	2		p			p

df (t) функции f (t) , имеющей dt

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ТОЭ лабы

#
30.05.20152.02 Mб63ENIN_IsaevKolchanovaHohlovaVasil'eva.pdf
#
30.05.20152.77 Mб96ENIN_KuleshovaKolchanovaEs'kovPustynnikov.pdf
#
30.05.20154.85 Mб86ENIN_NosovKyleshovaKolchanova.pdf
#
30.05.2015353.37 Кб68Lab 4.docx
#
30.05.20158.86 Кб47Лист Microsoft Excel.xlsx
#
30.05.2015176.43 Кб133отчет ТОЭ №1.docx