ТОЭ лабы / ENIN_IsaevKolchanovaHohlovaVasil'eva

уравнения записывается в виде суммы двух составляющих – общего решения однородного уравнения iо.у(t) и частного решения неоднород-

ного уравнения iч.н(t)

i(t) iо.р(t) iч.н(t)

Общее решение однородного уравнения легко найти разделив переменные и осуществляя следующую последовательность действий:

Частное решение неоднородного уравнения – это любое уравнение которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать, посмотрев на уравнение:

R i(t) L dtdi E ,

и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде:

R

i(t) iо.р(t) iч.н(t) Ae L t ER .

Константу интегрирования A находим из начальных условий. В схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсутствовал. Следовательно, мы можем записать:

ставляющая не зависит от источника энергии – внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи.

101

Частное решение неоднородного уравнения iч.н(t) в электротехнике называют принуждённой составляющей iпр(t) . Она зависит от ис-

точника энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будет иметь синусоидальный вид.

Если обратить внимание на решение то можно заметить, что свободная составляющие быстро затухает из-за наличия отрицательного

уменьшается в е = 2.71 раз, е-1 = 0,367) После быстрого затухания свободной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс – установившийся режим работы цепи. Таким образом, можно сказать, что при установившемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принуждённой составляющей. Например, для нашего примера это можно записать так:

i(t ) iпр ER .

Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока будет состоять из суммы двух составляющих свободной и принуждённой, первая из которых быстро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздействия:

i(t) iсв(t) iпр Ae pt iпр .

Находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при t ,считая, что индуктивность является закороткой

i(t ) iпр ER .

Затем, используя начальные условия, находим константу интегрирования А

102

i(0) A ER A ER .

Записываем полученное решение

i(t) iсв(t) iпр Ae pt iпр .

Теперь осталось найти корень характеристического уравнения p .

Корень характеристического уравнения находится через входное сопротивление схемы. Если сделать замену p j и поставить в выра-

жение для сопротивления схемы то можно получить:

R Ae pt Lp Ae pt 0 R Lp 0 Z ( p) ;

Z ( ) j L R 0 p RL .

Из которого легко получить корень характеристического уравнения. Приведём графическую зависимость результата

Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражени-

ем uL (t) L didt(t) .

Взяв производную тока по времени, и умножив на индуктивность, получаем

Запишем последовательность действий для решения задачи на переходный процесс:

103

1.Записываем решение в виде свободной и принужденной составляющих

i(t) iсв(t) iпр Ae pt i( ) или u(t) uсв(t) uпр ue pt u( ) .

2.Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации uпр u( ) или iпр i( )

3.Определяем корень характеристического уравнения p через входное сопротивление Z ( p) 0 , в схеме после коммутации.

4.Определяем константу интегрирования A из начальных условий. Записываем окончательное решение и строим график.

Рис. 4.3

В качестве примера рассмотри цепь с конденсатором. Найдём закон изменения напряжения на конденсаторе при его зарядке.

1. Запишем искомое решение в виде двух составляющих, принуждённой и свободной:

uC (t) uсв(t) uпр Ae pt uпр.

2.После коммутации при установившемся режиме не будет тока и конденсатор будет заряжен до величины u( ) uпр E . Следовательно,

uC (t) uсв(t) uпр Ae pt Е.

3. Корень характеристического уравнения находим через входное

4. Находим константу интегрирования А из начальных условий. До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе от-

5. Записываем окончательный результат:

104

жения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных процессов очень важно понимать, что такое зависимые и независимые начальные условия. Начнем рассмотрения этих понятий с первого и второго законов коммутации.

В электрической цепи, не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии

W (0 ) W (0 ) W (0) .

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно

WC u2C , WL i2L , 2 2

это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напряжения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время – это процесс инерционный, не мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

Первый закон (правило) коммутации – ток через индуктивность непосредственно до коммутации iL (0 ) равен току через ин-

Второй закон (правило) коммутации – напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации uC (0 ) равно напряжению на ёмко-

сти после коммутации uC (0 ) :

uC (0 ) uC (0 ) uC (0) . (**)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки – и + в выражениях (*) и (**) опускают. Важно помнить, что независимые

начальные условия определяются в схеме до коммутации. Таким образом, существует только два независимых начальных условия – это

напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность.

Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, например с током через ёмкость или с током через источник напряжения:

или с напряжением на индуктивности или на источнике тока:

Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непосредственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от того наблюдаем мы их до или после коммутации. Зависимые началь-

106

Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный iL (0) J / 2 1А.

u j (0 ) JR J2 R2 2 10 1 5 25В

uL (0 ) J2 R J2 R2 1 10 1 5 5В

Рис. 4.8

Примеры расчета в MathCAD Независимые начальные условия

Рис. 4.9

Пример-1.

Дано :

R1 10 R2 20 L 0.2 E 20 C 60 10 6

108

Ищем решения в виде:

i(t) iсв(t) iпр A ep t iпр

1) iпр определяет принуждённую составляющую в схеме после коммутации :

iпр R1E iпр 2

2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации :

i( 0) i(0) 0 A iпр A iпр A 2

3)Корень характеристического уравнения через входное сопротивление

всхеме после коммутации :

4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) :

0 0

0.010.787

0.021.264

0.031.554

0.041.729

0.051.836

0.061.9

0.071.94

0.081.963

t

Рис. 4.10

4) Определяем напряжение на индуктивности U(t) :

109

t u(t)

0 20

0.0112.13

0.027.36

0.034.46

0.042.71

0.051.64

0.061

0.070.6

0.080.37

Пример-2.

E

Рис. 4.12:

Ищем решения в виде:

u(t) uсв(t) uпр A ep t uпр

1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации :

2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации :

u( 0) u(0) 0 A uпр A uпр A 20

3)Корень характеристического уравнения через входное сопротивление

всхеме после коммутации :

110