Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ / Часть 2. Сопротивление материалов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

1.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

При действии такой нагрузки ось стержня ис-	FM	q
кривляется. Стержни, работающие в основном
на изгиб, принято называтьбалками.
Изгиб называют чистым, если изгибаю-
щий момент является единственным внутрен-	Рис. 2.5.1
ним усилием, возникающим в поперечном се-
чении стержня (в поперечном сеченииотсутствуют поперечные силы).
Если в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими момен-
тами возникают и поперечные силы, то такой изгиб называютпоперечным.
Если плоскость действия изгибающего момента (силовая плос-
кость) проходит через одну из главных центральных осей поперечного
сечения стержня, изгиб называют простым или плоским. При этом ось
балки после деформации остается в силовой плоскости.
Если плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпа-
дает ни с одной из главных осей сечения, изгиб называют косым. При ко-
сом изгибе плоскость деформации не совпадает с силовой плоскостью.
Деформацию изгиба легко проследить на модели, представляющей
собой прямолинейный призматический брус, длина которого значительно
превышает его поперечные размеры. На боковые грани бруса нанесены
равноотстоящие горизонтальные и вертикальные линии (рис. 2.5.2, а). В
плоскости симметрии abcd к концам бруса приложены два равных проти-
воположно направленных момента M, под действием которых брус изги-
бается, как показано на (рис. 2.5.2, б).

				k	b	l
0			0	e		f
a)				m	a	n
a)
M	Сжатые волокна		M	Силовая
M	Нейтральный слой		M	линия
	Нейтральный слой			линия
0'			0'	k'	b'	l'
			0'	k'		l'
				e'		f'
Растянутые волокна		Нейтральная ось		m'	a'	n'
б)	Рис. 2.5.2
	Рис. 2.5.2

Рассмотрение изогнутого бруса позволяет установить следующие ос-

новные признаки чистого изгиба.

1. Плоские поперечные сечения бруса остаются плоскими и поворачиваются на некоторый угол одно относительно другого.

2.Плоские продольные сечения искривляются, о чем можно судить по тому, что продольные горизонтальные прямые, нанесенные на боковые грани, становятся кривыми линиями.

3.Волокна на вогнутой стороне бруса укорачиваются, что свидетель-

ствует об их сжатии, а навыпуклой стороне – удлиняются, растягиваются.

4.Как показывает опыт, одна из горизонталей на боковой грани бруса своей длины не изменяет (линия 00 на рис. 2.5.2, б). Это позволяет сделать вывод о существовании у бруса слоя, которые не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем.

5.След e´f´ нейтрального слоя на плоскости поперечного сечения называют нейтральной осью (рис. 2.5.2, б). Нейтральная ось 00 при изгибе своей длины не изменяет.

6.След a´b´ силовой плоскости на поперечном сечении балки называют силовой линией.

Таким образом, здесь наблюдаются те же явления, что и при простом растяжении и сжатии, когда знак поперечной деформации противоположен знаку продольной деформации, то есть продольное растяжение сопровождается поперечным сжатием и продольное сжатие приводит к поперечному растяжению.

Из рис. 2.5.2 следует, что величина деформации волокон, как в продольном, так и в поперечном направлении тем больше, чем дальше они расположены от нейтрального слоя или нейтральной оси.

		2.6.2 Типы опор балок
Опоры балок, рассматриваемых как плос-				Ry	Ry	Ry
кие системы, бывают трех основных типов.					Rx	Rx
1.	Подвижная	шарнирная	опора		Rx	Rx
(рис. 2.5.3, а).						MR
Такая опора не препятствует вращению						MR
Такая опора не препятствует вращению				a)	б)	в)
конца балки и его перемещению вдоль плоско-				a)	б)	в)
сти качения. В ней может возникать только од-					Рис. 2.5.3
сти качения. В ней может возникать только од-
на реакция, которая перпендикулярна плоскости качения и проходит через
центр катка.
Подвижные опоры дают возможность балке беспрепятственно из-
менять свою длину при изменении температуры и тем самым устраняют
возможность появления температурных напряжений.
2. Неподвижная шарнирная опора (рис. 2.5.3, б).
Такая опора допускает вращение конца балки, но устраняет посту-
пательное перемещение ее в любом направлении. Возникающую в ней
реакцию можно разложить на две составляющие – горизонтальную и
вертикальную.
		92

3. Жесткая заделка, или защемление (рис. 2.5.3, в).

Такое закрепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений опорного сечения. В этой опоре может в общем случае возникать реакция, которую обычно раскладывают на две составляющие (вертикальную и горизонтальную) и реактивный момент.

Для того чтобы балка могла воспринимать нагрузку в одной плоскости и оставалась бы при этом в целом неподвижной по отношению к основанию, наименьшее число связей, налагаемых опорами, должно быть равно трем.

Если опорные реакции могут быть найдены только из уравнений статики, то балки называют статически определимыми.

Для таких балок возможны следующие варианты крепления:

1)защемление балки одним концом (балка с одним заделанным концом называется консольной балкой или просто консолью);

2)крепление одного конца балки при помощи неподвижной шарнирной опоры, а другого конца – при помощи подвижной шарнирной опоры (балки, имеющие две опоры, называют двухопорными).

Такие опоры исключает возможность возникновения продольных усилий при деформации, вызванной изменением температуры.

Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число урав-

нений статики, возможных для данной задачи, то балки называют статически неопределимыми. Для определения реакций в таких балках необходимо составлять дополнительные уравнения – уравнения перемещений.

В данном курсе статически неопределимые балкине рассматриваются.

2.6.3 Определение опорных реакций

Определение опорных реакций

производят при помощи уравнений статики. Методику их определения рассмотрим на примерах.

В первом примере определим опорные реакции консольной балки

(рис. 2.5.4).

	y
	RAy	F	q
RAx			q
RAx	A		x
Mz	a1	a2	a3
	Рис. 2.5.4

Реакцию заделки разложим на две составляющие силы RAx и RAy ,

направленные вдоль осей х и у, и реактивный момент МAz ,

Составим уравнения равновесия балки.

1. Приравняем нулю сумму проекций на ось x всех сил, действующих на балку:

Fx =0.

Получаем:

RAx 0.

При отсутствии горизонтальной нагрузки горизонтальная состав-

ляющая реакции RAx

равна нулю.

2. Приравняем нулю сумму проекций на ось y всех сил, действую-

щих на балку:

Fy =0.

Равномерно распределенную нагрузку q заменяем равнодействую-

щей qa3, приложенной в середине участка а3:

RAy F1 qa3 0,

откуда:

RAy F1 qa3.

Вертикальная составляющая реакции в консольной балке равна

сумме сил, приложенных к балке.

3. Составляем третье уравнение равновесия.

Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно какой-

нибудь точки, например, относительно точки А:

MAz 0;

F a qa

a a

1 1

3 1

откуда:

F a qa

a a

1 1

3 1

Знак «минус» показывает, что

принятое вначале направление ре-

RAy

RBy

активного

момента

следует

изме-

RAx

нить на обратное.

B x

Реактивный момент в заделке

равен сумме моментов внешних сил

относительно заделки.

Рис. 2.5.5

Во втором примере рассмот-

рим определение опорных реакций двухопорной балки (рис. 2.5.5).

1.FAx RAx Fcos 0; RAx Fcos .

2.MBz RAy a b c d b c d F sin

q c d 2 M 0. 2

		q	c d 2
b c d Fsin			2	M
RAy			2		.
RAy		a b c d			.
2. Fy RAy F q c d RBy 0;
RBy RAy F q c d .
2.6.4 Определение внутренних усилий при изгибе
Как было отмечено в разделе 2.5.1, при плоском поперечном изгибе в
поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора:
— изгибающий момент Mx ,
— поперечная сила FRt .			a1	F1	F2	F
Для их определения при-			a1	F1	F2	a1 1	FRt
меним метод сечений.							Mx
В рассматриваемом месте			A		B		Mx
сделаем мысленный разрез бал-			A		B
ки, например, на расстоянии x					RAy
ки, например, на расстоянии x			а)		б)
от левой опоры		(рис. 2.5.6, а).	а)		б)
Отбросим одну из частей балки,					Рис. 2.5.6
Отбросим одну из частей балки,
например правую, и рассмотрим равновесие левой части. Взаимодей-
ствие частей балки заменим внутренними усилиями, действующими в
этом сечении: изгибающим моментом				Мx	и поперечной силой FRt
(рис. 2.5.6, б).
Для определения величин Мx и				FRt	используем два уравнения
равновесия:
1. M0 RA	y	x F1 x a1 Mx 0;
	y
Mx RA x F1 x a1 .
y
2. Fy RA		F1 FRt 0;
y
FRt F1 RAy .

Следовательно:

1) поперечная сила FRt в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

2) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно ра-

вен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

Правило знаков для изгибающих мо-						FRt mn>0		F	F FRt mn<0
ментов и поперечных сил					mn	m			m
Поперечная сила в сечении балки					mn
(рис. 2.5.7, а) считают положительной, если						n			n
равнодействующая внешних сил слева от се-						n		а)	n	F
равнодействующая внешних сил слева от се-						F		а)	б)	F
чения направлена снизу вверх, а справа –								Рис. 2.5.7
сверху вниз, и отрицательной – в противо-								Рис. 2.5.7
положном случае (рис. 2.5.7, б).									Mmn>0
Изгибающий момент в сечении балки, напри-									m
Изгибающий момент в сечении балки, напри-
мер, в сечении mn (рис. 2.5.8, а), положителен, если								M	n	M
равнодействующий момент внешних сил слева от									Mmn<0
сечения направлен по часовой стрелке, а справа –								M	m	M
против часовой стрелки, и отрицателен – в проти-									n
воположном случае (рис. 2.5.8, б).									n
воположном случае (рис. 2.5.8, б).									Рис. 2.5.8
Моменты, изображенные на рис. 2.5.8, а, изги-									Рис. 2.5.8
Моменты, изображенные на рис. 2.5.8, а, изги-
бают	балку	выпуклостью	вниз,	а	моменты,		изображенные			на
рис. 2.5.8, б, изгибают балку выпуклостью вверх.
Отсюда следует другое, более удобное для запоминания правило
знаков для изгибающего момента.
Изгибающий момент считается положительным, если в рассмат-
риваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз.


2.6.5 Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
Для наглядного представления о харак-					x2
тере изменения изгибающего момента и по-					x2		x1
тере изменения изгибающего момента и по-					F
перечной силы по длине балки и для нахож-				II	F	I
перечной силы по длине балки и для нахож-			A		B		C
дения	опасных сечений строят эпюры Mx		A		B		C
дения	опасных сечений строят эпюры Mx			II		I
и FRt .	Методику построения этих эпюр рас-					I
и FRt .	Методику построения этих эпюр рас-					a2
смотрим на следующих примерах.			a)	a1		a2
смотрим на следующих примерах.			a)
В первом примере рассмотрим построе-			Mx
ние эпюр Mx		и FRt для консольной балки,	б)
изображенной на рис. 2.5.10, а.			FRt
Проводим		сечение справа от силы на	FRt
расстоянии x1		от правого конца балки (сече-	в)		Рис. 2.5.10
расстоянии x1		от правого конца балки (сече-
ние I-I), x1 – величина переменная, индекс «1»
ние I-I), x1 – величина переменная, индекс «1»
обозначает номер участка, на котором сделано сечение.
Изгибающий момент в сечении I-I проще всего определить, соста-
вив уравнение суммы моментов внешних сил, расположенных, в данном
случае, справа от сечения:

Mx1 0;

0 x1 a2 .

Изгибающий момент в любом поперечном сечении балки на участке BC отсутствует.

Изгибающий момент в сечении II-II на участке AB так же вычислим, как сумму моментов всех сил, расположенных справа от сечения (в этом случае нет необходимости в определении опорных реакций в заделке):

Получим:

Mx2 F x2 a2 ; a2 x2 a1 a2 .

Знак «минус» взят потому, что балка изгибается выпуклостью вверх. Полученное уравнение является уравнением наклонной прямой линии.

Поэтому для построения эпюры на участке AB достаточно вычислить два значения Mx :

Mx2 a2 0;

Mx2 a1 a2

Величину эпюры. Эпюра

Fa1.

Fa1 в выбранном масштабе откладываем вниз от оси Mx представлена на рис. 2.5.10, б.

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении у заделки:

Mxmax Fa1.

Вычислим теперь поперечную силу в сечении I-I.

Проектируя на вертикальную ось силы, расположенные справа от сечения, получаем, что:

FRtx1 0;

0 x1 a2

Для сечения II-II тем же путем получим:

FRtx2 F ;

a2 x2 a1 a2 .

Знак «плюс» взят потому, что внешняя сила справа от сечения направлена сверху вниз.

Эпюра FRt показана на рис. 2.5.10, в.

Во втором примере рассмотрим построение эпюр Mx и FRt для двухопорной балки, изображенной на рис. 2.5.11, а.

Используя уравнения равновесия, определим реакции RAy и RBy .

Изгибающий момент в сечении с абсциссой x1 определяем как сумму моментов от сил, расположенных слева от сечения:

					q x2
M	x	R	Ay	x	1 1	;

				1	2
	1
0 x1 l1.
Уравнение				момен-
та Mx		описывает			пара-
1

болу. Поэтому двух фиксированных точек для построения эпюры недостаточно. Эпюру строим по трем точкам:

x1 0; Mx1 0;

x1 l1 ;

Mx1 RAyl1 q1l12 ;

2 8

x1 l1;

a)	q1	M	RBy	F
	q1	M		q2
A		E	B	C
A
RAy	x1	x2		x3
		x2
	l1		l2	l3
Mx	M''x1			M''x1
б)	M''x1	M		M''x1
б)	0,5l1	M		0,5l3
	0,5l1	M'''x1	M''x2=M'''x3
			M''x2=M'''x3
			F''
			Rt x3	F
FRt				F
FRt
в)		F''Rt x1=FRt x2		FRt x2
		F''Rt x1=FRt x2

Рис. 2.5.11

Mx1 RAyl1 q1l12 .

По этим данным строим эпюру Mx на участке AE.

Определяем изгибающий момент в сечении с абсциссой x2 от всех нагрузок, действующих слева от этого сечения:

M		R		x q l	x		l1	M ;
	x2		Ay
				2 1 1		2	2

l1 x2 l1 l2 .

Второй член этого выражения представляет собой изгибающий момент от равнодействующей распределенной нагрузки q1, действующей на участке AE.

Уравнение Mx2 описывает наклонную прямую линию. Поэтому для построения эпюры достаточно вычислить два значения Mx2 :

x2 l1;

Mx2 RAyl1 q1l12 M ;

x2 l1 l2 ;

M	R		l l		q l	l1	l		M .
		Ay		2				2
x2			1		1 1	2

По этим данным построим эпюру Mx на участке BE.

Определяем изгибающий момент в сечении, отстоящем на расстоянии x3 от правого конца балки.

Так как справа от указанного сечения внешних силовых факторов меньше, чем слева, то Mx3 проще вычислить как сумму моментов от сил, расположенных справа от сечения:

Mx3 Fx3 q2x32 ;

0 x3 l3.

Первый член в уравнении Mx3 представляет собой изгибающий момент от силы F, а второй – изгибающий момент от распределенной нагрузки q2 , действующей правее рассматриваемого сечения.

Уравнение момента Mx3 описывает параболу. Эпюру строим по

трем точкам: x3 0; Mx3 0;

x3 l3 ;

Mx3 Fl3 q2l32 ;

2 8

x3 l3;

Mx3 Fl3 q2l32 .

По этим данным строим эпюру Mx на участке ВC.

Поперечную силу FRt определяем, проектируя на вертикаль силы,

действующие на отсеченную часть:

FRt x1 RAy q1x1;

0 x1 l1.

Уравнение FRt x1 является уравнением наклонной прямой линии.

x1 0;

FRt x1 0;

x1 l1;

FRt x1 RAy q1l1.

Поперечная сила в произвольном сечении участка EB:

FRt x2 RAy q1l1.

Величина FRt x2 не зависит от текущей координаты x2 , поэтому ее

эпюра имеет вид горизонтальной прямой линии. На третьем участке:

FRt x3 F q2x3; 0 x3 l3.

Уравнение FRt x3 является уравнением наклонной прямой линии на

участке ВС. x3 F ;

FRt x3 0;

x3 l3;

FRt x3 F q2l3.

Скачки в эпюре FRt равны по величине приложенным в соответствующих сечениях балки сосредоточенным силам RAy , RBy , F .

2.6.6 Напряжения при изгибе. Расчеты на прочность

2.6.6.1 Общие сведения

Как было показано в разделе 2.5.1, наибольшую деформацию растяжения (или сжатия) претерпевают периферийные слои изгибаемой балки. Очевидно, что эти деформации тем больше, чем больше изгибающий момент. Следовательно, при изгибе величина нормальных напряжений зависит от величины изгибающего момента. Величина же касательных напряжений зависит от величины поперечной силы.

Изгибающий момент или поперечная сила в любом сечении балки могут быть определены с помощью эпюр рассмотренными выше методами.

При расчетах на прочность большое значение имеет распределение нормальных и касательных напряжений по сечению. Длительная практика эксплуатации изогнутых балок показывает, что наиболее опасной, определяющей работоспособность конструкции, является точка, расположенная на крайних растянутых волокнах.

Лишь в некоторых специфических случаях касательное напряжение может оказаться решающим фактором, определяющим прочность изогнутой балки. Тогда производят полный расчет балки по эквивалентным напряжениям.

Установим зависимость между изгибающим моментом, действующим в сечении, и возникающими при этом нормальными напряжениями, а

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ

#
30.05.20151.06 Mб58Часть 1. ТММ.pdf
#
30.05.20151.09 Mб55Часть 2. Сопротивление материалов.pdf
#
30.05.2015870.72 Кб128Часть 3. Соединения.pdf
#
30.05.2015424.79 Кб72Часть 4. Фрикционные и ременные передачи.pdf
#
30.05.20151.62 Mб58Часть 5. Цилиндрические зубчатые передачи.pdf
#
30.05.2015749.61 Кб60Часть 6. Конические и червячные передачи.pdf
#
30.05.2015433.51 Кб58Часть 7. Цепные передачи.pdf