ЛЕКЦИИ / Часть 2. Сопротивление материалов

кого напряженного состояния, каким является чистый сдвиг, пола-

Так как величина энергии не должна зависеть от ориентирования граней элемента, то, приравнивая правые части выражений (2.4.8) и (2.4.9), получаем:

Отсюда найдем зависимость между модулем сдвига G, модулем упругости первого рода E и коэффициентом Пуассона :

2.5Кручение

2.5.1Построение эпюр крутящих моментов

Стержень испытывает кручение, если в его попе- речных сечениях возникают крутящие моменты, то есть моменты, лежащие в плоскости сечения. Обычно эти

крутящие моменты Tк возникают под действием внешних моментов T (рис. 2.6.1).

Внешние моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п. Однако и поперечная нагрузка, смещенная относительно

оси стержня, вызывает крутящие моменты (рис. 2.6.2), но в этом случае в поперечных сечениях наряду с крутящими моментами возникают и другие внутренние уси-

лия – поперечные силы и изгибающие моменты.

Стержни, работающие на кручение, называют валами. В расчетах вместо аксонометрического изображе-

ния чаще применяют плоское изображение, как более простое. Внешние скручивающие и внутренние крутящие моменты изображают иногда в

81

Tк 2 кНм.

Момент считаем положительным в соответствии с принятым правилом знаков.

Сделав сечение c c на участке KE из условия равновесия правой части, получаем:

2 3 Tк 0 ,

откуда:

Tк 1 кНм.

Получившаяся эпюра имеет форму двух прямоугольников.

Важно заметить, что в местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного здесь внешнего момента.

Если заданы поперечные нагрузки, вызывающие кручение стержня (рис. 2.6.2), то предварительно вычисляют внешние скручивающие моменты, создаваемые этими силами.

В случае, представленном на рис. 2.6.2, внешний вкручивающий момент от силы F равен:

T Fr.

После определения внешних моментов определяют внутренние крутящие моменты и строят эпюры, как указано выше.

83

Очевидно, что при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Эпюра касательных напряжений по поперечному сечению стержня представлена на рис. 2.6.7. В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю. Наибольшие касательные напряжения будут в точках сечения, расположенных у поверхности стержня.

Зная закон распределения касательных напряжений, можно определить их величину из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении:

где dA – элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих по площадке dA.

Подставив в (2.6.4)значение напряженийиз формулы (2.6.3), получим:

A

Величина 2dA называется полярным моментом инерции сечения

A

и обозначается Jp.

85

Подставляя значение d в формулу (2.6.3), получим: dx

Tк .

Jp

В частном случае, когда на стержень действует один внешний скручивающий момент T (рис. 2.6.9), из условия равновесия отсеченной части стержня получим:

Tк T .

Таким образом, окончательная формула для определения касательных напряжений при кручении имеет вид:

Jp

Как видно из этой формулы, в точках, одинаково удаленных от центра сечения, напряжения одинаковы.

Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны:

том сопротивления или моментом сопротивления при кручении.

Для круглого сплошного сечения:

86

где c d .

D

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид:

Кроме проверки прочности, по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных остальных величинах.

Так как для круглого сплошного сечения:

Wp 0,2d3 ,

получаем:

0,2 p p

По этой формуле определяют диаметр вала по условию прочности.

Допускаемый из условия прочности крутящий момент определяют по формуле:

Tкp Wp p .

2.5.3 Деформации и перемещения при кручении валов

2.5.3.1 Расчет деформаций и перемещений при кручении

Для вычисления деформаций вала при кручении воспользуемся формулой (2.6.6):

Деформация вала на длине z (взаимный угол поворота сечений) равна:

x

Tкdx (2.6.17)

0 GJp

Если крутящий момент и величина GJp, называемая жесткостью вала при кручении, постоянны на всем участке интегрирования, то:

87

GJp

Аналогично, для вала длиной l получим:

GJp

Эта формула по своей структуре аналогична формуле для определения деформаций при растяжении-сжатии.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют

относительным углом закручивания. Он равен:

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания θ не превосходил допускаемого значения p :

В формуле (2.6.21) p – допускаемый относительный угол закру-

чивания в радианах на единицу длины вала.

Эта формула выражает условие жесткости вала при кручении.

В большинстве случаев допускаемый относительный угол закручивания задают в градусах на 1 м длины, тогда взамен формулы (2.6.21) получим:

Угол p выбирают в зависимости от назначения вела и его разме-

ров. Для валов средних размеров рекомендуется принимать допускаемый угол закручивания p равным 0,5° на 1 м длины.

Из условия (2.6.22) можно определить диаметр вала по заданной жесткости. Учитывая, что:

Jp 0,1d4,

получаем:

G0,1 p

88

Вданном случае BA будет положительным.

Впринятом масштабе отложим ординату BA (рис. 2.6.10, в). По-

лученную точку K, соединяем прямой точкой E, так как на участке AB углы изменяются по закону прямой линии (см. формулу (2.6.18), в которую абсцисса сечения z входит в первой степени).

Вычислим теперь угол поворота сечения С по отношению к сечению В. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем:

CB TBClBC .

GJp

Так как сечение В не неподвижное, то угол поворота сечения С по отношению к сечению А равен:

CA CB BA TBClBC BA .

GJp

89

Угол закручивания CA может получиться положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю.

Предположим, что в данном случае угол CA получился положительным.

Тогда, отложив эту величину в принятом масштабе вверх от оси эпюры, получим точку M.

Соединяя точку M с точкой K, получим график углов закручивания на участке ВС.

На участке CD скручивания не происходит, так как крутящие моменты на этом участке равны нулю, поэтому там все сечения поворачиваются на столько же, на сколько поворачивается сечение С.

Участок MN эпюры здесь горизонтален.

Если за неподвижное принять сечение В, то эпюра углов закручивания будет иметь вид, представленный на рис. 2.6.10, г.

Рассмотрим пример определения диаметра стального вала, вращающегося с угловой скоростью , и передающего мощность P. Допускаемое напряжение p . Допускаемый угол закручивания равен p. Мо-

дуль сдвига равен G.

Момент, передаваемый валом, определим по формуле:

TP.

Диаметр вала по прочности на кручение определяем по формуле (2.6.15). Диаметр вала из условия жесткости определяем по формуле (2.6.23). Для дальнейшего проектирования вала принимается больший из этих двух значений диаметра (округленный в большую сторону до стандартной величины.

Лекция № 8 (2 часа).

2.6Изгиб

2.6.1Общие понятия о деформации изгиба

Значительное количество деталей механизмов или элементы этих деталей в процессе работы подвергаются воздействию нагрузки, перпендикулярной к продольной оси, или внешних пар, действующих в плоскости, проходящей через указанную ось(рис. 2.5.1). При этом в поперечных сечениях деталей или их элементов возникают изгибающие моменты, то есть внутренние моменты, действующие в плоскости, перпендикулярной к плоскости поперечного сечения. Такой вид нагружения называют изгибом.

90