Содержание курса

Тема 1. Электромагнитное мультипольное излучение

Произвольное электромагнитное поле можно, как известно, описывать с помощью вектор-потенциала , который удовлетворяет условию div=0. Напряженности электрической и магнитной составляющей поля связаны с вектор-потенциалом следующим образом:

. (1.1)

Из уравнений Максвелла в свободном пространстве следуют волновые уравнения для вектор-потенциала:

(1.2)

и для напряженностей поля:

(1.3)

где - волновое число.

Электромагнитное поле в конечном объеме может быть разложено в ряд по бегущим плоским волнам. Это разложение может быть выполнено, например, для вектор-потенциала поля:

, (1.4)

где - волновой вектор,=1, 2 – две взаимно-перпендикулярные поляризации,- единичный вектор поляризации,~.

Суммирование в этом выражении производится по бесконечному набору значений волнового вектора и по двум поляризациям. Кроме того, можно обратить внимание, что именно переменные иполностью определяют поле в пространстве. Поэтому эти переменные можно рассматривать как полный набор полевых переменных, задающих конфигурацию поля.

Используя (1.1), можно аналогичные разложения написать и для напряженностей поля. В частности:

. (1.5)

Cучетом уравнений Максвелла:

. (1.6)

Найдем теперь решение волнового уравнения для векторной функции , от которой затем перейдем к напряженностям поля.

Решение будем искать в виде , где- оператор углового момента, а скалярная функцияудовлетворяет волновому уравнению:

. (1.7)

Найденное таким образом решение будет действительно удовлетворять уравнениям (1.3), поскольку

. (1.8)

Решение для скалярной функциинайдем в виде расходящихся сферических волн. В сферических координатах это решение будет иметь вид:

, (1.9)

где - радиальная функция,- сферическая функция,l=0, 1, 2 …,m= -l, -l+1, …0, …l-1,l.

Радиальная функция записывается в виде:

(1.10)

и в предельных (асимптотических) случаях:

. (1.11)

Введем новую векторную функцию :

, (1.12)

для которой справедливо следующее условие ортогональности:

. (1.13)

Поскольку оператор углового момента действует только на угловые переменные, то решение волнового уравнения записывается в виде:

. (1.14)

Тогда при переходе к напряженностям электромагнитного поля с учетом (1.6) они могут быть определены двумя различными способами:

, (1.15)

, (1.16)

где коэффициенты a– произвольные постоянные, а выбор знаков диктуется соображениями удобства, которые станут ясными из дальнейшего изложения.

Поскольку всегда выполняется равенство:

, (1.17)

то в решении (1.15) вектор напряженности магнитного поля перпендикулярен направлению распространения излучения:

. (1.18)

В то же время и

~~~при. (1.19)

В частности, при l=1~r^-3, что соответствует излучению электрического диполя. Поэтому решение (1.15) называется решением (или полем) электрического типа.

Аналогичным образом в решении (1.16):

;;~, (1.20)

и при l=1~r^-3– излучение магнитного диполя.

Решение (1.16) называется решением (или полем) магнитного типа.

Общее решение волнового уравнения является суперпозицией полей электрического и магнитного типов и записывается в виде:

. (1.21)

Для нахождения коэффициентов aследует принять во внимание, что электромагнитное поле в свободном пространстве создается за счет излучения среды, которая характеризуется плотностью зарядаи токаj. Поэтому необходимо рассмотреть неоднородные волновые уравнения с отличными от нуля правыми частями, и тогда:

, (1.22)

, (1.23)

, (1.24)

, (1.25)

где e– заряд электрона, а интегрирование ведется по объему излучающей среды.

Величины иназываются электрическим и магнитным мультипольными моментами излучающей системы соответственно. В частности, приl=1 (m=0):

(1.26)

(1.27)

где D_z иM_z– проекции на ось z электрического и магнитного дипольных моментов.

При m=1:

. (1.28)

Для нахождения полной энергии поля справедливо выражение:

(1.29)

Момент импульса поля может быть определен следующим образом:

(1.30)

В заключение раздела рассмотрим важный вопрос о четности полученных решений для напряженностей электромагнитного поля. Оказывается (это будет использовано в дальнейшем), что четность поля удобно определять таким образом, чтобы она совпадала с четностью мультипольных моментов.

Из полученных решений видно, что четность напряженностей поля определяется четностью функции , то есть множителем (-1)^l. Таким образом, четностьравна (-1)^l, а четностьравна -(-1)^l. Теперь для того, чтобы четность поля соответствовала четности мультипольных моментов, необходимо потребовать, чтобы она совпадала с четностью напряженности магнитного поля, поскольку из (1.23) и (1.25) следует, что четность электрического мультиполя равна (-1)^l, а четность магнитного мультиполя равна -(-1)^l. Таким образом, имеем:

- для четной волны ;

- для нечетной волны ,

то есть поле излучения четно, если при операции инверсии напряженность магнитного поля не меняет знак, а напряженность электрического поля знак меняет.