Задача об ошибках термопары
Если тепло выделяется или поглощается в одной или более локальных областях («точках»), то говорят, что система содержит местные или сосредоточенные источники тепла. К таким системам относятся системы с термопарами.
Рассмотрим стационарное распределение температуры в неизолированной бесконечной плоской пластине с помещенным в ней цилиндрическим источником тепла
q0 |
общее количество тепла, выделяемое источником тепла в цилиндрическом объеме r 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
Дополнительно платина получает тепло через поверхность 1 и отдает через поверхность |
|||||||
|
2 (или наоборот) |
|
|
2T |
|
|
||
|
1 |
T |
|
|
||||
|
|
|
r |
|
|
|
0 |
(71) |
|
|
|
|
z2 |
||||
|
r r |
r |
|
|
||||
пластина тонкая |
Это существенно упрощает задачу |
|
|
||
. |
|
T r |
в стационарном состоянии для |
r |
s |
Требуется найти распределение температуры по радиусу |
|
r |
|||
Tg1
1
2
Tg 2
Местный источник тепла в неадиабатической пластине
Задача об ошибках термопары
В направлении z нет распределения температуры:
1 |
T |
|
2T |
|
|
|||
|
|
r |
|
|
|
|
0 |
(71) |
r |
|
|
z2 |
|||||
r |
r |
|
|
|
||||
1 |
T |
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
1 T |
|
|
|
T |
|
T |
|
|||||||||||||
|
|
r |
|
dz |
|
|
|
|
dz 0 |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
r r |
r |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r r |
|
|
|
z z |
z z 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
1 Tg1 T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
T |
|
2 T Tg 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2T 1 dT |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1Tg1 2Tg 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(72) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
dr |
r dr |
|
|
|
T |
|
|
|
1 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
r rs |
|
|
Tr |
1Tg1 |
2Tg2 |
|
|
|
|
|
|
(73) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
По смыслу |
равна температуре всей платины при |
q0 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Перейдем к новой переменной
Задача об ошибках термопары
T |
d 2 |
|
1 d |
2 0 |
(74) |
|
dr 2 |
|
r dr |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
(75) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Это есть уравнение Бесселя нулевого порядка, общее решение которого имеет вид
|
T C1I0 r C2K0 |
r |
|
|
(76) |
I0 и K0 |
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода |
|
нулевого порядка соответственно |
|
|
Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого и
первого порядков
I0 r |
неограниченно возрастает по мере того, как ее аргумент r |
C1 0
Задача об ошибках термопары
Вследствие наличия источника тепла при r rs пластина является неизотермической.
r rs |
|
|
|
dT |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
F |
|
|
2 r |
|
|
C |
K |
|
r |
2 r C |
K |
r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
0 |
s |
|
dr r rs |
s |
dr |
2 |
|
0 |
r rs |
s 2 |
1 |
s |
|
|
C2 |
q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 rs K1 rs |
|
|
|
|
|
K0 r |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
T |
q0 |
|
|
|
|
|
(77) |
|||||||||
|
|
2 r |
s |
|
K |
1 |
r |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
||||
|
|
|
|
T |
|
K0 rs |
|
|
|
|||||||||
|
или |
|
|
|
K1 rs |
|
|
(78) |
||||||||||
|
T0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
T0 |
|
|
|
|
q0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 rs |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Радиальное распределение |
Асимптотическое представление: |
|
||||||||||||||||
r 1 |
K0 rs |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
температуры вокруг локального |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
s |
|
|
|
ln |
|
|
|
0,577 |
|||||||||
источника тепла в неадиабатической |
|
|
|
r |
|
|||||||||||||
пластине |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача об ошибках термопары
Теперь можно перейти к задаче об ошибках термопары непосредственно. Как известно, измерение температуры поверхностей обычной термопарой сопряжено с рядом ошибок электрического, физико- химического и термического происхождения. Возможно, что наиболее серьезной из ошибок,
встречающихся при измерении температуры термопарой обычного типа, является так называемая
ошибка за счет теплопроводности проводов термопары.
Если температура среды больше измеряемой температуры поверхности , то провода термопары, находящиеся при более высокой температуре, будут подводить тепло к пластине с более низкой температурой, что вызовет местное повышение температуры как раз в той точке, где спай термопары должен измерять температуру поверхности. Следовательно, в этом случае показания термопары дадут завышенное по сравнению с истинным значение температуры.
Если принять, что провода термопары питают источник , то для определения ошибки можно воспользоваться только что полученным решением.
Tg1 Tg 2 |
термопара становится |
|
источником |
q01 1 Tg1 T0
q02 2 T0 Tg 2
q0 q01 q02 1Tg1 2Tg 2 1 2 T0
разность между теплом, подводимым проводами к спаю , и теплом, рассеянным на поверхности круглого источника
Воспользовавшись полученным решением, найдем
|
|
|
|
T0 |
|
1Tg1 2Tg 2 |
1 2 T0 K0 rs |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 rs |
|
|
K1 rs |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Коэффициенты, как уже известно, рассчитываются через коэффициенты теплопроводности проводов и |
|||||||||||||||||
изоляторов, коэффициенты теплообмена и характерные линейные размеры |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютная ошибка для |
||||
|
T0 |
|
|
|
1 Tg1 2 Tg 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
температуры, измеренной |
||||||||||||
|
1 |
2 2 rsK1 rs |
K0 rs |
|
термопарой |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
T0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
Tg1 |
1 2 1 rs K1 rs K0 rs |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если термопары не теплоизолированы, то термическая проводимость
1 равна коэффициенту теплоотдачи термопары в среде 1
1 l 1r
Чем толще пластина, тем большеx , но тем меньше
rs , так что добиться нулевой ошибки практически невозможно
K1 y y 1, y 0,05
|
1 |
|
|
|
1 2 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
ln 2 / |
y 0.577 |
|
|
x |
|
y rr |
1 2 rs |
|
lr 1 |
||||
|
|
|
rs 1. 414r 
радиус проволоки