Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5079 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Князева_лк / лекция_4.ppt
Скачиваний:
93
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
2.63 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Задачи с внутренними источниками тепла

 

 

 

 

 

 

ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ОБЪЕМНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2T

qV 0

(50)

(Решается задача элементарным интегрированием)

 

 

 

 

 

 

 

 

Te2

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1

 

 

 

 

 

 

2

 

Первый «способ» решения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T x qV

x

2

 

 

 

 

общее

 

(51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Te1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C x C

 

 

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

T2

 

 

 

 

2

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Подставляя общее решение в г.у., найдем постоянные интегрирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Максимум находится на некотором расстоянии от поверхностей.

dT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положение максимума можно найти из условия (условие экстремума) dx 0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dT qV x C 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

1

 

 

 

 

 

Второй «способ» решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поместим начало координат в точку, где температура максимальна

2

C1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

dT

 

2 T

 

2 Te2

 

 

 

qV 2

Te2

 

(52)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г.У.:

x 2

dx

 

 

 

 

2 C2

2

qV 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как плоскость x=0

 

можно считать теплоизолированной, все тепло, выделившееся в

 

 

пластине справа в единицу времени, должно быть отведено в окружающую среду

 

 

посредством теплоотдачи с правой стенки. В противном случае будет нарушено условие

 

 

стационарности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV 2

- количество тепла, выделяющееся в объеме пластины толщиной =1 в единицу времени

Слева – выражение для потока теплоотдачи с единицы площади поверхности пластины

Аналогичные рассуждения для левого слоя пластины толщиной

1 2 приводят к выражению

 

 

qV 2

2

 

2

(53)

 

 

 

 

1 C2

2

 

Te1 qV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью равенств (52), (53) находим положение максимума

 

 

 

2

2 1 2 Te1 Te2

qV 2 1

2

(54)

 

2qV 1 2

1 2

 

 

 

 

 

Определяя постоянную С2, (подходит любое из равенств (52) или (53) совместно с (54)) , находим общее решение. Наиболее простой вид оно принимает, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 ;Te1 Te2 Te

 

 

 

(55)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

qV 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

C2

qV

 

 

 

T x

 

q

 

q

T

(56)

 

 

 

 

Te

V

 

 

x

 

V

 

 

 

2

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q 2

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tmax T

x 0

 

 

V

 

V

Te

 

 

 

 

Тем ниже, чем выше теплопроводность пластины

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Температура стенки

T

 

 

T

T qV T

 

растет с ухудшением теплоотдачи

 

 

 

 

 

s

 

1

 

2

2

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Граничные условия первого рода

 

T x

 

 

V

 

 

 

 

 

C1x C2 ,

C1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

T1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV

2

 

C

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 T T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(57)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

q 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

2 T T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T x T2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

1

 

1

2

2

 

 

 

x

 

 

 

 

(58)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

qV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При очень больших значениях

 

 

 

 

 

 

Граничные условия третьего рода переходят

 

 

 

 

 

 

 

 

в граничные условия первого рода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

:

dT

 

2 T

 

2 Te2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

x 2

 

T2 T2e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, из симметричной задачи с граничными условиями третьего рода находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T x

 

q

 

 

 

 

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Температура

(59)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

стенок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

8

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это же равенство следует из (58) при условии равенства температур стенок

Цилиндр с объемным тепловыделением

Рассмотрим бесконечный сплошной цилиндр, равномерно нагреваемый (или охлаждаемый) с боковой поверхности. В объеме цилиндра находится источник тепла постоянной интенсивности . Требуется найти распределение температуры для

установившегося режима.

2

 

1 dT

qV

0

 

d T

 

 

dr 2

 

r dr

 

 

u dT dr

r

du

u

qV r

 

0

или

dr

 

 

 

 

 

 

 

q

 

r 2

C

 

 

 

ru

V

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

dT

qV r

C1

 

 

 

dr

 

 

2

r

 

 

 

(60)

d ru

qV r

0

(61)

dr

 

 

 

Первый интеграл

(62)

Общее решение

T

q r

2

 

(63)

V

C1 ln r C2

 

 

4

 

 

 

Для сплошного цилиндра dT dr 0

r 0

C1 0

Цилиндр с объемным тепловыделением

 

 

 

 

r R

dT

T Te

 

 

 

 

(64)

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2

qV R

qV R2

T

T qV R2 r 2 qV R Te

 

 

(65)

 

2

4

 

e

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tmax qV

R2

qV R Te

 

 

Ts qV R

Te

 

(66)

 

 

 

 

4

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

плотность теплового потока на поверхности цилиндра:

q T T

qV R

 

 

s

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV R

 

 

 

полный тепловой поток с поверхности цилиндра:

Q qF

 

2 Rl qV R2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Задача об охлаждении цилиндра с объемным тепловыделением представляет, в

частности, интерес для нахождения распределения температуры в катодах, используемых в плазмотронах для генерации потоков ионов. В практическом приложении эта задача может быть переформулирована так: найти мощность

источника, достаточную для распыления катода при условии, что для этого нужно достичь температуру плавления материала катода

Используя общее решение (63), можно найти распределение температуры по толщине стенки полого цилиндра или по толщине цилиндра, покрытого защитным слоем (рассмотрим далее). В первом случае нужно задать условия на внутренней поверхности цилиндра. Во втором случае потребуется дополнительное условие на границе раздела двух материалов с разными свойствами, т.е. граничное условие четвертого рода.

 

 

Шар с объемным тепловыделением

 

d 2T

 

2 dT

qV

0 (67)

T qV r 2

C1 C2

(68)

dr 2

 

r dr

 

 

6

r1

 

Условие теплообмена с окружающей средой dT

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

r R

T T

 

 

 

при

 

 

 

 

 

C T

qdrV

 

R

qV

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

e

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

q

2

 

r

 

 

 

 

 

T

Te

V

 

R

V R

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

6

 

 

 

R

 

 

 

максимальная температура

 

T

 

T

 

 

qV

 

R

qV

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

e

 

3

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Температура поверхности

 

Ts Te qV R qV

 

R2

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

6

 

 

 

 

 

полный поток тепла через поверхность

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

4

шара

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV R2

qV R T

 

T qV R T

 

 

цилиндр

T

 

 

 

 

max

 

4

2

 

e

 

s

 

2

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плоский слой

Tmax

qV

qV 2

Te

 

T s qV Te

 

 

 

 

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

дает

(69)

(70)

dT

 

1

3

 

 

3

R qV

 

dr r R

 

 

Сравнить с (70)

Пример 1. Найти максимальную силу тока, который можно пропускать по алюминиевой проволоке (λ=204 Вт/(м·К)) диаметром 1 мм, чтобы ее температура не превышала 200 С. Проволока подвешена в воздухе с температурой 25 С. Коэффициент конвективной теплоотдачи от проволоки к воздуху равен 10 Вт/(м2·К). Электрическое сопротивление Re/l на единицу

длины проволоки есть 0,037 Ом/м.

Решение. Воспользуемся формулой (66), из которой следует

 

R

I 2

 

 

 

 

q

R

 

R

 

 

I 2

R

 

 

R

 

qV

e

 

T

m ax

T

e

V

1

 

T

e

 

 

 

e

1

 

 

 

 

 

 

 

R 2l

 

 

2

 

 

 

 

2 R l

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Подставляем заданные значения физических величин:

 

 

 

 

 

 

 

I 2

 

 

 

 

 

 

10

3

2 10

 

200 25

 

 

 

 

 

0,037

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2 204

 

 

 

 

2

10

 

 

 

 

 

 

 

 

2 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда находим силу тока:

 

 

 

 

 

I 12,2 A

 

 

 

 

 

 

Провод с изоляцией

Строгая математическая постановка задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2T1

 

 

1 dT1

 

 

qV

 

 

 

 

r R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr 2

 

r dr

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2T2

 

1

dT2

 

0

 

 

 

 

R r R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое условие есть условие симметрии;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr 2

 

 

 

r

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 0 :

 

 

dT

dr 0

 

 

 

 

 

 

второе говорит о том, что тепловой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r R :

 

dT1

 

 

 

dT2

;

 

 

T1 T2

 

 

контакт между проводом и изоляцией –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dr

 

 

 

 

 

 

 

идеальный, а третье соответствует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dT2

 

T2 Te

 

 

 

 

конвективному теплообмену провода с

 

 

 

 

 

 

r R :

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

изоляцией с окружающей средой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

q

 

r 2

C l nr C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

2

 

 

 

 

Общее решение задачи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4 1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T2 C3 l nr C4

 

 

 

 

 

 

 

Из первого условия имеем: C1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qV R

 

 

 

 

 

C3

 

 

 

 

 

 

C3 qV R

 

 

 

 

 

 

 

 

Второе условие дает:

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q R 2

 

 

 

 

 

q R 2

l nR C4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

C2 V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

3

 

 

 

 

2

q R 2

 

 

 

 

q R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

V

 

 

V

 

 

l n

R

C

4

T

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из третьего условия следует:

 

 

R

 

 

R

2 2

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим:

 

C4 Te

q R 2

 

 

 

q R

 

 

 

V

l n R

V

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

q R 2

 

2

1

 

q R 2

 

R

 

C

2

T

e

V

 

1

 

 

V

l n

 

 

 

 

 

 

 

4 1

 

 

R

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

Следовательно, распределение температуры в проводе с изоляцией описывается формулами

 

 

 

 

q R 2

 

2

1

 

q R 2

 

R

q r 2

и

T

T

e

 

V

1

 

 

V

l n

 

 

V

 

 

 

 

 

 

1

 

 

4 1

 

R

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

4 1

 

Окончательное решение представим в виде:

 

q R 2

 

2

 

q R 2

R

T2 Te

V

 

 

V

l n

r

 

 

 

 

2 2 R

 

2 2

 

 

(Задание № 4 – привести решение к безразмерному виду и исследовать)

 

 

Ti Te

 

 

r

 

 

 

 

1

 

 

Bi

 

 

 

 

K

 

 

 

 

2

;

0 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

i

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T Te

 

 

 

R

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

l n

 

 

 

 

 

 

Bi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

K

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

q

 

R 2

 

 

 

 

 

 

K

 

 

 

 

K

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

T Te

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

l n

 

;

1

1

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Bi

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим поток тепла с поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проводника

 

q T2

R

Te

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 2 l T* Te

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q R l T R T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KBi 1

KBi 1

-изоляция не отводит тепло от проводника с током

-возможно остывание проводника за счет потерь тепла в окружающую среду

Пример 2. Пусть по длинной алюминиевой проволоке диаметром 1 см течет электрический ток силой тока 1000 А. Проволока покрыта слоем резиновой изоляции толщиной 3 мм ( λ2=0,15 Вт/(м·К)). Температура

наружной поверхности изоляции 30 С. Найти температуру внутренней поверхности изоляции. Омическое сопротивление проволоки на единицу длины 3,7·10-4 Ом/м.

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся второй формулой для Т2 рассмотренной сопряженной задачи. С учетом того, что задана температура

внешней поверхности изоляции, т.е.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

R

e

I 2

T2 r R

Te

R

e

 

 

I 2

 

 

R

 

 

 

qV

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 2l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

R

 

 

 

 

 

 

 

 

273 30 3

. 7 10

4

 

1000 2

 

 

l n

0. 005 0. 003

477 .6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

0.005

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3. 14 0.

 

 

 

 

 

Используя значение коэффициента теплопроводности алюминиевой проволоки

1 232 Вт/(м·К) и формулу для Т , можем рассчитать температуру в центре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

провода. В рассматриваемых условиях имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e

 

R

e

 

I 2

 

 

R

R

e

I 2

 

 

2

 

 

 

 

R

e

 

I 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

r R

 

T

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

4 1

T

 

 

r R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

2

2

 

 

R

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 7 10 4 1000 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

477

. 6

 

 

 

 

 

 

 

477.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3.14

232

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 5. 1.Ток силой I=200А пропускается через проволоку из нержавеющей стали диаметром 2 мм и длиной 1 м. Электрическое сопротивление проволока – 0.125 Ом, коэффициент теплопроводности 17Вт/(м·К). Температура поверхности проволоки 150 С. Требуется рассчитать температуру на оси проволоки.

2.Предположить в этой же задаче, что проволока покрыта слоем изоляции (коэффициент теплопроводности изоляции 0,15 Вт/(м·К)), а коэффициент теплоотдачи на поверхности изоляции равен 60 Вт/(м2К). Как нужно изменить силу тока (увеличить или уменьшить), чтобы температура поверхности проволоки осталась равной 150 С.

Соседние файлы в папке Князева_лк
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности