Вопрос 8 - Минимизация булевых функций

Целью минимизации логического выражения является снижение его стоимости.

Минимизация идёт в несколько этапов:

перевод исходной формы в сокращённую

перевод сокращённой в тупиковую

перевод тупиковой в минимизированную

Написать , посчитать стоимость исходного выражения (19). Сделать сокращенную форму – форму со всеми возможными склейками, посчитать её стоимость (11). Затем составить тупиковую форму – форму без лишних склеек (её стоимость - 8). Минимизированная форма получается из тупиковой с привлечением дополнительных методов. Например:

применение тождества де Моргана посчитать стоимость (6 и 4).

применение распределительного закона – X1X2+X1X3+X1X4= X1(X2+X2+X4) (9 и 5).

Импликантами логических выражений называются такие части, которые равны нулю на тех наборах, на которых сама функция равна нулю. Простыми импликантами называются те, которые уже не склеиваются.

Коэффициент минимизации равен.

Расчётно-табличный метод

Вопрос 9 - Аппарат булевых функций - язык описания функционирования комбинационных схем.

Логическая схема может быть составлена из логических элементов различных базисов:

1) булевого базиса элементов (НЕ, И, ИЛИ);

2) базиса элементов НЕ, И;

3) базиса элементов НЕ, ИЛИ;

4) базиса элемента И - НЕ;

5) базиса элемента ИЛИ - НЕ.

Два последних базиса принято называть универсальными. Дело в том, что один элемент любого из этих базисов позволяет реализовывать все операции булевого базиса. Элемент универсального базиса является составным. На выходе элемента стоит инвертор. Элемент четвертого базиса является элементом Шеффера, а элемент пятого - элементом Пирса.

Если замкнуть друг с другом все входы универсального элемента, то он будет реализовывать инверсию. Естественно, что это “дорого” обходится.

Если на выходе универсального элемента поставить инвертор, то тогда будет реализовываться конъюнкция (4-й базис) или дизъюнкция (5-й базис).

Пусть имеется функция в СДНФ:

_ _ _ _ _

f_26,СДНФ = x₁x₂x₃ \/ x₁x₂x₃ \/ x₁x₂x₃.

После минимизации будет иметь место

_ _ _

f_26,СДНФ = x₁x₃ \/ x₁x₂x₃.

Если функция получается из одной импликанты (составной части выражения), то ее следует развернуть в две импликанты (в случае преды-дущего склеивания) либо взять другую функцию, представленную в СКНФ, и преобразовать ее в СДНФ. Желательно, чтобы полученная для синтеза схемы функция имела бы 2 или 3 импликанты.

Рекомендуется сначала построить логическую схему в булевом базисе элементов (рис.4). Для дальнейшей работы целесообразно элементы прону-меровать, считая входы схемы в определенной степени также элементами. Для практики требуется определять для каждого базиса элементов стоимость схемы С по Квайну, как количество входов у всех элементов схемы.

Первую схему легко преобразовать с учетом других базисов элементов.

Д

С₁ = 10

ля построения схемы из элементов второго базиса (рис.5) необходимо

Рис. 4. Булевый базис

по тождеству де Моргана произвести замену дизъюнктора: вместо дизъюнктора поставить конъюнктор, его входы и выход проинвертировать.