Вопрос 6 - Переключательные (булевы) переменные и функции. Булева алгебра
Переключательной функцией называется такая функция от нескольких аргументов, все аргументы которой являются высказываниями, и значение которой также является высказыванием.
Булевые функции начинают изучать с функций, имеющих не более двух переменных. Такие функции называются элементарными, некоторые из них соответствуют логическим операциям. Элементарная функция от двух переменных обозначается следующим образом: f (x1,x2), где x1,x2 - переменные.
Из переменных составляются логические наборы, их количество определяется двойкой в степени, равной числу переменных. Следовательно, различных наборов при двух переменных будет четыре (табл.1).
Можно узнать и количество всевозможных функций через число переменных. Оказывается, число функций совпадает с величиной, равной 2 в степени, совпадающей с количеством наборов. Следовательно, количество функций nf определяется по формуле:
П
ри
двух переменных будет 16 функций
|
x1 |
x2 |
f0 |
f1 |
f2 |
f3 |
f4 |
f5 |
f6 |
f7 |
f8 |
f9 |
f10 |
f11 |
f12 |
f13 |
f14 |
f15 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Функции можно разделить на пять группы.
f00, f151, x1, x2, x1, x2 (константы, переменные и их инверсии);
функции конъюнкции (/\) f 8, дизъюнкции (\/) f 14, Шеффера (инверсия конъюнкции) f 7, Пирса (инверсия дизъюнкции) f 1;
функции сложение по модулю два() f 7, эквивалентности ( ) f 9;
функции правой импликации () f 13, левой импликации () f 11;
а
также функции правой ()
и левой коимпликаций ( )
f
4,,
f
2.
Функции инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, Шеффера, Пирса, импликаций, коимпликаций, сложения по модулю два и равнозначности принято называть логическими операциями.
Операция, например, левой коимпликации сводится к конъюнкции с отрицанием левой переменной, а операция правой импликации - дизъюнкции с отрицанием правой переменной.
1. Коммутативность логического сложения : A+B=B+A 2. Коммутативность логического умножения : A*B=B*A
3. Ассоциативность логического сложения : (A+B)+C=A+(B+C) /От слова «ассоциация»-объединение/. 4. Ассоциативность логического умножения : (A*B)*C=A*(B*C)
5. Наличие нейтрального элемента для логического сложения : 0+A=A –левый нейтральный элемент A+0=A –правый нейтральный элемент (т.к. левый и правый нейтральный элемент совпадают, то он просто называется нейтральным элементом) 6. Наличие нейтрального элемента для логического умножения : 1*A=A –левый нейтральный элемент A*1=A –правый нейтральный элемент (т.к. левый и правый нейтральный элемент совпадают, то он просто называется нейтральным элементом)
7. Мультипликативное свойство логического нуля : 0*A=0 –левое мультипликативное свойство A*1=A –правое мультипликативное свойство (т.к. левое и правое мультипликативное свойство имеют место одновременно, то оно просто называется мультипликативным свойством)
8. Дистрибутивность логического умножения относительно логического сложения :
A*(B+C)=A*B+A*C –левая дистрибутивность
(B+C)*A=B*A+C*A –правая дистрибутивность
Булевая алгебра является двузначной алгеброй высказываний. Данную алгебру разработал шотландский математик и логик Дж. Буль (1815 – 1864 гг.). В 1849 г. он издал книгу "Математический анализ логики", а в 1854 г. – "Исследование законов мышления". В основу своей алгебры он положил аналогию между алгеброй и логикой. Логику он представлял как алгебру классов, связанных операторами И, ИЛИ и НЕ. В его алгебре есть известные аксиомы. Каждая аксиома имеет два вида выражения, один вид может быть выражен через другой вид. В алгебре нет коэффициентов и показателей степеней.
В алгебре Буля ставится задача решать логические задачи с помощью алгебраических методов (введения символов, аксиом, операций).
В алгебре логики установлены законы и тождества, позволяющие упрощать выражения, в ней действуют принципы двойственности.