Вопрос 4 - Помехоустойчивое кодирование (идея построения помехоустойчивых кодов, коды Хэмминга, циклические коды)

Проблема повышения верности обусловлена не соответствием между требованиями, предъявляемыми при передачи данных и качеством реальных каналов связи. В сетях передачи данных требуется обеспечить верность не хуже 10^-6 - 10^-9, а при использовании реальных каналов связи и простого (первичного) кода указанная верность не превышает 10^-2 - 10^-5.

Одним из путей решения задачи повышения верности в настоящее время является использование специальных процедур, основанных на применении помехоустойчивых (корректирующих) кодов.

Простые коды характеризуются тем, что для передачи информации используются все кодовые слова (комбинации), количество которых равно N=qⁿ (q - основание кода, а n - длина кода). В общем случае они могут отличаться друг от друга одним символом (элементом). Поэтому даже один ошибочно принятый символ приводит к замене одного кодового слова другим и, следовательно, к неправильному приему сообщения в целом.

Помехоустойчивыми называются коды, позволяющие обнаруживать и (или) исправлять ошибки в кодовых словах, которые возникают при передаче по каналам связи. Эти коды строятся таким образом, что для передачи сообщения используется лишь часть кодовых слов, которые отличаются друг от друга более чем в одном символе. Эти кодовые слова называются разрешенными. Все остальные кодовые слова не используются и относятся к числу запрещенных. Кодовое расстояние d(расстояние Хэмминга) между двумя кодовыми комбинациями – количество несовпадающих разрядов. d легко вычисляется, если две кодовые комбинации сложить по модулю два и посчитать количество единиц у результата сложения.

d_min – минимальное кодовое расстояние, которое равно минимальному кодовому расстоянию всех возможных комбинаций кода.

d_min определяет способность помехоустойчивого кода (ПУК) обнаруживать и исправлять ошибки: d_min≥r+1; d_min≥2s+1; d_min≥s+r+1 (если s<r), где r – количество ошибок в кодовом слове, которые ПУК сможет обнаружить; s – количество ошибок в кодовом слове, которые ПУК сможет исправить.

Построение кода Хемминга.

Рассмотрим построение ПУК Хемминга для обнаружения двух и исправления одной ошибок.

Кодовая группа состоит из n символов, m символов используется для передачи информации, а k = n – m являются контрольными.

Информационные символы разбиваются на группы и для каждой группы при кодировании определяется контрольный символ (k групп).

Контрольные разряды определяются из позиций кодовой группы следующим образом:

k₁ – проверяет все позиции, которые содержат в 0 разряде 1, т.е. это позиции: 1, 3, 5, 7, 9… (1, 11, 101, 111, 1001, …);

k₂ – проверяет все позиции, которые содержат в 1 разряде 1, т.е. это позиции: 2, 3, 6, 7, 10… (10, 11, 110, 111, 1010, …);

k₃ – проверяет все позиции, которые содержат в 2 разряде 1, т.е. это позиции: 4, 5, 6, 7, 12… (100, 101, 110, 111, 1100, …) и т.д.

Счёт позиций в ПУК Хемминга идёт слева направо. Желательно, чтобы контрольные символы формировались независимо друг от друга, поэтому целесообразно их разместить на позициях, которые встречаются только в одной из проверяемых групп. Легко заметить что это позиции 1(для k₁), 2 (для k₂), 4 (для k₃) и т.д. Закономерность в выборе позиции для проверочной группы следующая: позиция для k_i= 2^i-1.

Количество необходимых контрольных разрядов вычисляется следующим образом: 2^k ≥ m+k+1.

А число информационных разрядов зависит от количества букв Q в используемом алфавите: m = log₂Q.

Кодовая группа выглядит следующим образом:

Десятичный номер позиции в кодовой группе	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Двоичный номер позиции в кодовой группе	0 0 0 0 1	0 0 0 1 0	0 0 0 1 1	0 0 1 0 0	0 0 1 0 1	0 0 1 1 0	0 0 1 1 1	0 1 0 0 0	0 1 0 0 1	0 1 0 1 0	0 1 0 1 1	0 1 1 0 0	0 1 1 0 1	0 1 1 1 0	0 1 1 1 1	1 0 0 0 0	1 0 0 0 1	1 0 0 1 0	1 0 0 1 1	1 0 1 0 0
Символы	k1	k2	a1	k3	a2	a3	a4	k4	a5	a6	a7	a8	a9	a10	a11	k5	a12	a13	a14	a15

Контрольные разряды формируются следующим образом:

k₁ = a₁ a₂ a₄ a₅ a₇ a₉ a₁₁ a₁₂ a₁₄… (входят символы с 1 в 0 разряде позиции);

k₂ = a₁ a₃ a₄ a₆ a₇ a₁₀ a₁₁ a₁₃ a₁₄… (входят символы с 1 в 1 разряде позиции);

k₃ = a₂ a₃ a₄ a₈ a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₅… (входят символы с 1 во 2 разряде позиции);

k₄ = a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀ a₁₁… (входят символы с 1 во 3 разряде позиции);

k₄ = a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₁₅… (входят символы с 1 во 4 разряде позиции).

Построение циклического ПУК

Циклические ПУК строятся на основе образующих полиномов G(x). Образующий полином должен являться множителем полинома xⁿ+1, где n – количество разрядов кодового слова (k – количество контрольных разрядов (разрядность G(x) = k+1), m = n – k – количество информационных разрядов). В каждом конкретном циклическом ПУК образующий полином выбирается в соответствии с корректирующими способностями ПУК.

Строятся циклические ПУК двумя путями:

1. информационные разряды помещаются в старшие разряды кодового слова, а в младшие k разрядов заносится остаток от деления a_n-1a_n-2…a_n-k00…0 на G(x);

кодовое слово является результатом умножение информационного полинома на G(x).