Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений

Определение базисного минора и базисных неизвестных.	Любой, не равный нулюминор, имеющийпорядокрангаосновной и расширенной матриц системы, называется базисным минором, а неизвестные, коэффициенты при которыхвошлив базисный минор – базисными неизвестными.
Определение свободных неизвестных.	Неизвестные, коэффициенты при которых не вошлив базисный минор, называются свободными.
Определение СОЛУ.	Система линейных уравнений называется однородной, еслисвободные членыво всех уравнениях этой системы равнынулю. AX = 0 – матричная запись СОЛУ.

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X = 0,. Ранги основной и расширенной матриц системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтомупо теореме Кронекера-КапелиСОЛУ всегда совместна.

Определение ФСЧР СОЛУ.

Фундаментальной системой частных решенийсистемы однородных линейных уравнений называетсясистема линейно независимых частных решений, число решений в которой равно числу свободных неизвестных системы.

Если n– число неизвестных системы,r– её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержатьk = n – rлинейно независимых частных решений.

Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы порядка.

Замечание. ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной матрицыАпорядкаk = n – r, если.

Блок-схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений

R(А) – ранг основной матрицы системы;

R(В) – ранг расширенной матрицы системы;

М_r – базисный минор;

n – число неизвестных.

да

нет

да

нет

Элементы векторной алгебры

Координаты вектора находят, вычитая из координат точки, являющейся концом вектора, соответствующие координаты точки, являющейся началом вектора.

= .

Косинус угла между векторами иравен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению длин этих векторов:.

Скалярное произведениедвух векторов в ортонормированном (декартовом) базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: если, то.

Длина вектора в ортонормированном базисе равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора. Например, еслито.–проекция вектора на вектор.

В ортонормированном базисе векторное произведение находят, раскладывая определитель, в первой строке которого – ортыдекартовой системы координат, во второй строке – координаты левого из перемножаемых векторов, а в третьей строке – координаты правого из перемножаемых векторов.

Например,, тогда векторное произведение этих векторов в декартовой системе координат можно найти так:Свойства векторного произведения

.

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах. Обычно векторы приводят к общему началу. Половина модуля векторного произведения численно равна площади треугольника, построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах этого треугольника. Обычно векторы приводят к общему началу.

Определение и условие компланарности векторов.

Векторы, лежащие в одной или параллельныхплоскостях, называются компланарными. Смешанное произведение ненулевыхкомпланарных векторов равнонулю.

Смешанное произведение трех векторов получают,умножая векторное произведение двух векторов на третий вектор скалярно.

В ортонормированном базисе смешанное произведение равно определителю, строками или столбцами которого являются координаты перемножаемых векторов. Обычно первой строкой определителя записывают координаты первого вектора, второй строкой – координаты второго вектора, а третьей строкой – координаты третьего вектора, если считать векторы слева направо.

Полезно помнить такие свойства смешанного произведения: 1)приперестановкедвух любыхсоседнихвекторов смешанное произведениеменяет знакна противоположный; 2)при циклическойперестановке (последний вектор ставится впереди первого) смешанное произведениене изменяется, поскольку при этом два раза переставляются соседние векторы.

Геометрический смысл смешанного произведения. Деление отрезка в отношении λ.

Модульсмешанного произведения трех векторов равенобъему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Обычно векторы приводят к общему началу.Объём пирамиды, построенной на векторах,и, равен одной шестой объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах как на ребрах : .