Методы вычислений Методы простой итерации и Зейделя решения систем линейных уравнений Пусть дана система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде

Допустим, что определитель основной матрицы этой системы не равен нулю, тогда система имеет единственное решение. Для нахождения этого решения можно использовать итерационные методы, в которых решение системы получается как предел последовательности приближений, вычисленных некоторым единообразным процессом.

Для получения итерационных формул метода простой итерации выразим из первого уравнения системы , из второго –, из последнего –. Тогда систему можно записать в матричном виде, где

, и итерационный процесс организовать по формуле .

При таком построении последовательности приближений нужно выяснить условия, при которых последовательность имеет предел. Эти условия дает следующая теорема.

Для того, чтобы процесс итераций сходился к решению системы при любом начальном векторе , достаточно, чтобы какая-нибудь норма матрицыВ была меньше единицы .

Введение нормы дает легко проверяемые условия сходимости метода: или(в суммах).

Если условия сходимости не выполнены, то надо преобразовать систему так, чтобы условия выполнялись. Это можно сделать, используя эквивалентные преобразования системы или преобразования следующего вида. Обозначим , где– матрица с малыми по модулю элементами. Тогда вместо исходной системы будем иметь:, где,.

При достаточно малых итерационный процесс должен сходиться.

Если заданная точность вычислений по методу простой итерации , то вычисления следует проводить до тех пор, пока не выполнится неравенство: .

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Идея его заключается в том, что при вычислении -го приближения неизвестнойучитываются уже вычисленные ранее-е приближения неизвестных.

То есть итерационная формула , где

Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона

Задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [a, b] заданы упорядоченныеn+1 точки и значения функции в этих точках, т. е. задана таблица значений функции:

				…
				…

Требуется найти значения этой функции для промежуточных значений аргумента, не совпадающих с приведенными в таблице. Получить аналитическое выражение функции по таблице ее значений в большинстве случаев невозможно. Поэтому вместо нее строят другую функцию, которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений, что и, т. е.;Исходная функция называется интерполируемой функцией, а функция– интерполяционной. Значения аргумента в таблице называются узлами интерполяции.

В общем случае полином степени n, принимающий прих = х_iзаданные значенияy_i(i=0, 1,…,n), можно представитьинтерполяционной формулой Лагранжа

Пусть разности табличных значений аргумента – постоянные (шаг таблицы). Тогда значение функцииyдля промежуточных значенийхприближенно можно найти при помощиинтерполяционной формулы Ньютона

где последовательные конечные разности функцииy.

Для удобства пользования формулой Ньютона рекомендуется предварительно составить таблицу конечных разностей.

При х=х_iполином Ньютона принимает соответственно табличные значенияy_i.

Погрешность интерполяционной формулы Ньютона приближенно можно оценить по формуле

.

Если число nможно взять любым, то его следует выбирать так, чтобы разностьв пределах данной точности; иными словами, разностидолжны быть постоянными в заданных десятичных разрядах.

Пример.Найти, пользуясь табличными данными.

i	xi	yi	∆yi	∆2yi
0	260	0,43837	1562	-14
1	270	0,45399	1548
2	280	0,46947

Здесь . Применяя формулу Ньютона, используя первую горизонтальную строку таблицы, имеем. Причем погрешность. Таким образом, все полученные знаки─ верные.